Exercice corrigé 1-5-3:

Inéquations menant au second degré

Contenu

Se ramener à la résolution d'une inéquation de la forme ax2+bx+c > 0
Recherche des racines
Tableau de signes
Ensemble de solution

Infos sur l'exercice

  •  chap 1: Second degré
  • série 5: Etude du signe-inéquations

  •  niveau:
  • 10-15mn
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Résoudre les inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$:
  1. $(x+1)^2\leq 2x+3$
    Développer $(x+1)^2$
    Se ramener à une inéquation de la forme $ax^2+bx+c\leq 0$
    Dresser le tableau de signe de $ax^2+bx+c$
    Donner l'ensemble de solution
    $(x+1)^2\leq 2x+3 \Longleftrightarrow x^2+2x+1 \leq 2x+3$

    $\phantom{(x+1)^2\leq 2x+3} \Longleftrightarrow x^2+2x+1-2x-3\leq 0$

    $\phantom{(x+1)^2\leq 2x+3} \Longleftrightarrow x^2-2\leq 0$
    Recherche des racines de $x^2-2$

    Ici le coefficient de $x$ est nul donc $b=0$

    On peut donc déterminer les racines de $x^2-2$ sans calculer le discriminant $\Delta$
    $x^2-2=0 \Longleftrightarrow x^2=2 \Longleftrightarrow x=\sqrt{2}$ ou bien $x=-\sqrt{2}$ Remarque En cherchant les racines avec le discriminant $\Delta$ penser que le coefficient $b=0$

    Signe de $x^2-2$



    $(x+1)^2\leq 2x+3$ pour $x\in ]-\infty;-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2};+\infty[$


    $S= ]-\infty;-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2};+\infty[$
  2. $2x^2-3x+1 < x^2-1$
    Se ramener à une inéquation de la forme $ax^2+bx+c > 0$
    Dresser le tableau de signe de $ax^2+bx+c$
    Donner l'ensemble de solution
    $2x^2-3x+1 < x^2-1 \Longleftrightarrow 2x^2-3x+1-x^2+1<0 \Longleftrightarrow x^2-3x+2 < 0$
    Recherche des racines de $x^2-3x+2$
    $x_1=1$ est une racine de $ x^2-3x+2$ car $1^2-3\times 1+2=0$.
    Le produit des deux racines est $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$.
    donc $1\times x_2=\dfrac{2}{1}=-3$ donc $x_2=2$
    Signe de $x^2-3x+2$


    $2x^2-3x+1 > x^2-1$ pour $x\in ]1;2[$


    $S= ]1;2[$

    Remarque
    On peut aussi déterminer les racines en calculant $\Delta=1$
  3. $-2x^2+4x>(2x-1)^2+3$
    Développer $(2x-1)^2$
    Se ramener ensuite à une inéquation de la forme $ax^2+bx+x>0$
    $-2x^2+4x>(2x-1)^2+3 \Longleftrightarrow -2x^2+4x>4x^2-4x+1+3$

    $\phantom{-2x^2+4x>(2x-1)^2+3} \Longleftrightarrow -2x^2+4x-4x^2+4x-4>0$

    $\phantom{-2x^2+4x>(2x-1)^2+3} \Longleftrightarrow -6x^2+8x-4>0$

    $\phantom{-2x^2+4x>(2x-1)^2+3} \Delta=b^2-4ac=8^2-4\times (-6) \times (-4)=64-96=-32$

    $\Delta<0$ donc $ -6x^2+8x-4$ n'admet aucune racine
    et le polynôme $-6x^2+8x-4$ est du signe de $a=-2$ coefficient de $x^2$
    donc $ -6x^2+8x-4$ est du signe de $a=-6$ coefficient de $x^2$ pour tout réel $x$.


    Il n'y a aucune solution soit $S=\oslash$



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