Exercice corrigé 1-5-3:

Inéquations avec un produit ou un quotient

Contenu

Utilisation d'un tableau de signe pour déterminer le signe d'un produit
Inéquations avec un quotient et réduction au même dénominateur

Infos sur l'exercice

  •  chap 1: Second degré
  • série 5: Signe du trinôme-inéquations du second degré

  •  niveau:
  • 20-25mn

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Livre PDF devoirs corrigés première S(292 pages) et aide mémoire (55 pages)
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Résoudre les inéquations suivantes
  1. $(x+2)(x^2-5x+6)>0$
    Rechercher les racines de $x^2-5x+6$
    Dresser un tableau de signes avec les facteurs $x+2$ et $x^2-5x+6$
    Donner lensemble de solution de l'inéquation
    Il ne faut surtout pas développer l'expression $(x+2)(x^2-5x+6)$ car on obtient alors un polynôme de degré 3 et il est alors impossible de déterminer les racines de celui-ci avec la forme développée

    Pour préparer les contrôles ou réviser avant l'entrée en terminale
    Livre PDF devoirs corrigés première S(292 pages) et aide mémoire (55 pages)
    Recherche des racines de $x^2-5x+6$

    $\Delta=b^2-4ac=25-4\times 1\times 6=1$

    $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-1}{2}=2$
    et
    $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+1}{2}=3$
    Remarque: On peut aussi remarquer que $x_1=2$ est une racine de $x^2-5x+6$ et utiliser le produit des racines pour calculer $x_2$

    Etude du signe de $(x+2)(x^2-5x+6)$


    donc $(x+2)(x^2-5x+6)>0$ pour $x\in ]-2;2[\cup ]3;+\infty[$
    $S=]-2;2[\cup ]3;+\infty[$
  2. $\dfrac{-3x^2+4x-1}{x-3}<0$
    Rechercher l'eensemble de définition (il faut $x-3\neq 0$)
    Rechercher les racines de $-3x^2+4x-1$
    Dresser le tableau de signe du quotient $\dfrac{-3x^2+4x-1}{x-3}$
    Donner l'ensemble de solution
    Il faut $x-3\neq 0$ soit $x\neq 3$
    On résout cette inéquation sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace{3 \rbrace}$

    Recherche des racines de $-3x^2+4x-1$

    On peut remarquer que $x_1=1$ est une racine de $-3x^2+4x-1$ puisque $-3+4-1=0$

    Le produit des racines est $x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}$

    donc $1\times x_2=\dfrac{-1}{-3}$ soit $x_2=\dfrac{1}{3}$

    Etude du signe de $\dfrac{-3x^2+4x-1}{x-3}$


    Ne pas oublier la double barre quand le dénominateur est nul (valeur interdite)


    donc $\dfrac{-3x^2+4x-1}{x-3}<0$ pour $x\in ]\dfrac{1}{3};1[\cup ]3;+\infty[$


    $S=]\dfrac{1}{3};1[\cup ]3;+\infty[$
  3. $\dfrac{x}{x-2}<\dfrac{1}{x+3}$
    Rechercher l'esnsemble de définition (il faut $x-2\neq 0$ et $x+3\neq 0$)
    Se rammener à une inéquation de la forme $\dfrac{ax^2+bx+c}{(x-2)(x+3)}<0$
    Rechercher les racines de $ax^2+bx+c$
    Dresser le tableau de signe du quotient $\dfrac{ax^2+bx+c}{(x-2)(x+3)}$
    Donner l'ensemble de solution



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