Exercice corrigé 4-5-4:

Déterminer la fonction et étude des variations (d'après BAC 2004)

Contenu

- identification des coefficients de f
- calcul d'une dérivée avec exp(u) et la dérivée d'un produit
- étude des variations de f

Infos sur l'exercice

  •  chap 4: Exponentielle
  • série 5: Etude de fonctions

  •  niveau:
  • 15-20mn
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La courbe $\Gamma$ ci-dessous est la représentation partielle donnée par la calculatrice de la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=(1-x^2)e^{-x}$.
La courbe $\Gamma$ coupe l'axe des ordonnées au point A et l'axe des abscisses respectivement en B et C.

Les quatre questions sont indépendantes.
  1. On cherche à retrouver les unités.
    1. Calculer les coordonnées des points A, B et C.
      Les points $B$ et $C$ appartiennent à l'axe des abscisses donc on a $f(x_B)=f(x_C)=0$
      $A$ appartient à l'axe des ordonnées donc $f(0)=y_A$
      $f(x)=0 \Longleftrightarrow \left(1 - x^2\right)e^{-x}$
      $\phantom{f(x)=0} \Longleftrightarrow 1 - x^2=0$ car $e^x >0$
      $\phantom{f(x)=0} \Longleftrightarrow x^2=1$
      $\phantom{f(x)=0} \Longleftrightarrow x=1$ ou $x=-1$
      donc la courbe coupe l'axe des abscisses en $x=-1$ et $x=1$ et $x_B<0$ donc on a $B(-1;0)$ et $C(1;0)$.
      $f(0)= \left(1 - 0^2\right)e^{-0}=1e^0=1$ car $e^0=1$
      donc $A(0;1)$.

      $A(0;1)$, $B(-1;0)$ et $C(1;0)$
    2. Placer alors les unités dans le repère.
      On a $C(1;0)$ et $A(0;1)$...
      Le point $C$ a pour abscisse 1 et le point $A$ a pour abscisse 1 donc on a:
  2. Etude des limites
    1. Déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$
      Il faut chercher la limite de $1-x^2$ et de $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
      $f(x) = \left(1 - x^2\right)e^{-x}=\dfrac{1-x^2}{e^x}$
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} 1-x^2=-\infty$
      et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0^+$ car $e^x>0$

      donc par quotient, on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$
    2. On donne $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x^2}{e^x}= 0$.
      Déterminer alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$
      Interpréter graphiquement le résultat.
      On peut développer $f(x)$
      $f(x) = \left(1 - x^2\right)e^{-x}=e^{-x}-x^2e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}-\dfrac{x^2}{e^{x}}$
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}e^x=+\infty$ donc par quotient on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{e^x}=0$
      et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x^2}{e^x}= 0$

      donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$

      La courbe $\Gamma$ admet donc la droite d'équation $y=0$ (axe des abscisses) en $+\infty$
  3. Etude des variations On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $f'$ sa fonction dérivée.
    1. Montrer que pour tout $x$ réel $f'(x) = (x^2 - 2x - 1)e^{-x}$.
      On pose $u(x)=1-x^2$ et $v(x)=e^{-x}$ et on a $f(x)=u(x)v(x)$
      On pose $u(x)=1-x^2$ et $v(x)=e^{-x}$
      $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$.
      $u'(x)=-2x$ et $v'(x)=(-x)'e^{-x}=-e^{-x}$
      $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
      $\phantom{f'(x)}=(-2x)e^{-x}+(1-x^2)(-e^{-x})$
      $\phantom{f'(x)}=e^{-x}(-2x-1+x^2)$
      $\phantom{f'(x)}=e^{-x}(x^2-2x-1)$

      donc $f'(x)=e^{-x}(x^2-2x-1)$
    2. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire le tableau de variation de $f$.
      $e^{-x} > 0$
    3. Faire apparaître, sur le graphique, le ou les points de la courbe $\Gamma$ pour lesquels celle-ci admet une tangente horizontale.
      La tangente est parallèle à l'axe des abscisses quand $f'(x)=0$
      Le dérivée s'annule en $x=1-\sqrt{2}\approx -0,4$ et en $x=1+\sqrt{2}\approx 1,4$ .



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