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$X$ est une variable aléatoire prenant les valeurs $x_i$ avec $1\leq i \leq n$ ($i$ entier naturel) et la loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau ci-dessous.
L'espérance de $X$ est $E(X)$ et sa variance est donnée par $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
Montrer que $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
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L'espérance de $X$ est $E(X)$ et sa variance est donnée par $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
Montrer que $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On peut développer $(x_i-E(X))^2$ et on a $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2$
$~~~~~~~=p_1(x_1^2-2x_1E(X)+E(X)^2)+p_2(x_2^2-2x_2E(X)+E(X)^2)+...+p_n(x_n^2-2x_nE(X)+E(X)^2)$
$~~~~~~~=p_1x_1^2-2p_1x_1E(X)+p_1E(X)^2+p_2x_2^2-2p_2x_2E(X)+p^2E(X)^2+...+p_nx_n^2-2p_nx_nE(X)+p_nE(X)^2$
$~~~~~~~=p_1x_1^2+p_2x_2^2+...+p_nx_n^2-2E(X)\left(p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n\right)+E(X)^2(p_1+p_2+...+p_n)$
$~~~~~~~=p_1x_1^2+p_2x_2^2+...+p_nx_n^2-2E(X)\times E(X)+E(X)^2\times 1$ car $E(X)=p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n$ et $p_1+p_2+...+p_n=1$
$~~~~~~~=p_1x_1^2+p_2x_2^2+...+p_nx_n^2-2E(X)^2+E(X)^2$
$~~~~~~~=p_1x_1^2+p_2x_2^2+...+p_nx_n^2-E(X)^2$
Il est plus rapide d'effectuer le calcul de $V(X)$ avec cette deuxième expression
$~~~~~~~=p_1(x_1^2-2x_1E(X)+E(X)^2)+p_2(x_2^2-2x_2E(X)+E(X)^2)+...+p_n(x_n^2-2x_nE(X)+E(X)^2)$
$~~~~~~~=p_1x_1^2-2p_1x_1E(X)+p_1E(X)^2+p_2x_2^2-2p_2x_2E(X)+p^2E(X)^2+...+p_nx_n^2-2p_nx_nE(X)+p_nE(X)^2$
$~~~~~~~=p_1x_1^2+p_2x_2^2+...+p_nx_n^2-2E(X)\left(p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n\right)+E(X)^2(p_1+p_2+...+p_n)$
$~~~~~~~=p_1x_1^2+p_2x_2^2+...+p_nx_n^2-2E(X)\times E(X)+E(X)^2\times 1$ car $E(X)=p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n$ et $p_1+p_2+...+p_n=1$
$~~~~~~~=p_1x_1^2+p_2x_2^2+...+p_nx_n^2-2E(X)^2+E(X)^2$
$~~~~~~~=p_1x_1^2+p_2x_2^2+...+p_nx_n^2-E(X)^2$
Il est plus rapide d'effectuer le calcul de $V(X)$ avec cette deuxième expression
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