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Le tableau ci-dessous donne la répartition des activités de loisirs de 100 élèves d'un collège selon leur sexe.

On note $G$ l'événement "l'élève est un garçon" et $S$ l'événement "l'élève pratique un sport".
  1. On choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité que ce soit un garçon?
    $p(A)=\dfrac{\text{nombre de cvas favorables à }A}{\text{nombre de cas total}}$
    Il y a 60 garçons parmi les 100 élèves donc $p(G)=\dfrac{60}{100}=0,6$

    une probabilité est un nombre appartenant à l'intervalle $[0;1]$.
  2. Que signifie l'événement $\overline{G}$?
    Déterminer $p(\overline{G})$.

    Notations des événements et probabilités


    $\Omega$ est l'événement certain et $p(\Omega)=1$
    $\oslash$ est l'événement impossible et $p(\oslash)=0$
    $\overline{A}$ est l'événement contraire de A et est composé de toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas contenue dans A et $p(\overline{A})=1-p(A)$
    $\overline{G}$ est l'événement contraire de $G$ soit l'élève n'est pas un garçon" ou bien "l'élève est une fille".
    $p(\overline{G})=1-p(G)=1-0,6=0,4$


    On peut aussi calculer $p(\overline{G})$ en remarquant qu'il y a 40 filles parmi les 100 élèves donc $p(\overline{G})=\dfrac{40}{100}=0,4$.
  3. Que signifie $p(G\cap S)$?
    Déterminer $p(G\cap S)$.

    Intersection (A et B) et réunion (A ou B)


    Soient A et B deux événements.
    L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
    Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.

    L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.

    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
    Il faut déterminer le nombre d'élèves répondant à ces deux critères simultanément.
    $p(G\cap S)$ est la probabilité que l'élève choisi soit un garçon et pratique du sport.
    Il y a 35 élèves garçons et qui pratiquent du sport
    donc $p(G\cap S)=\dfrac{35}{100}=0,35$
  4. Que signifie $p(G\cup S)$?
    Déterminer $p(G\cup S)$.
    Il faut déterminer le nombre d'élèves répondant à l'un ou l'autre de ces deux critères(soit l'un, soit l'autre, ou bien au deux critères simultanément).
    $p(G\cup S)$ est la probabilité que l'élève choisi soit un garçon ou bien pratique du sport.
    Il y a $30+35+25=90$ élèves garçons ou bien qui pratiquent du sport (voir tableau ci-dessous).
    donc $p(G\cup S)=\dfrac{90}{100}=0,9$

    On peut aussi utiliser $p(G\cup S)=p(G)+p(S)-p(G\cap S)$
    donc $p(G\cup S)=\dfrac{60}{100}+\dfrac{65}{100}-\dfrac{35}{100}=\dfrac{90}{100}$
    Une probabilité est un nombre appartenant à l'intervalle $[0;1]$.
  5. Calculer $p_S(G)$ et en donner la signification.

    Probabilité conditionnelle


    Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
    La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
    et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.
    Il y a 65 élèves qui font du sport et parmi ceux-ci 35 garçons
    $p_S(G)$ est la probabilité que l'élève choisi soit un garçon sachant qu'il fait du sport
    Il y a 65 élèves qui font du sport et parmi ceux-ci 35 garçons

    $p_S(G)=\dfrac{35}{65}=\dfrac{7}{13}$

    On peut aussi calculer $p_S(G)=\dfrac{p(S\cap G)}{p(S)}=\dfrac{0,35}{0,65}=\dfrac{35}{65}=\dfrac{7}{13}$

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