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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne les points $A(6;6)$, $B(3;-3)$ et $C(8;2)$.
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- Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $(d)$ de $[AB]$
Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $(d')$ de $[AC]$La médiatrice de $[AB]$ est la droite passant par $I$ le milieu de $[AB]$ et perpendiculaire à $(AB)$.
$M\in (d) \Longleftrightarrow \overrightarrow{IM}. \overrightarrow{AB}=0$$(d)$ est la droite passant par $I$ le milieu de $[AB]$ et perpendiculaire à $(AB)$.
$\begin{cases} x_{I}=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{6+3}{2}=\dfrac{9}{2}\\ \\ y_{I}=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{6-3}{2}=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
donc $I(\dfrac{9}{2};\dfrac{3}{2})$
$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=3-6=-3\\ y_{ \overrightarrow{AB}}=-3-6=-9 \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{AB}(-3;-9)$
Soit $M(x;y)\in (d)$
$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{IM}}=x_M-x_I=x-\dfrac{9}{2}\\ y_{ \overrightarrow{IM}}=y_M-y_I=y-\dfrac{3}{2} \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{IM}(x-\dfrac{9}{2};y-\dfrac{3}{2})$
$M\in(d) \Longleftrightarrow \overrightarrow{IM}. \overrightarrow{AB}=0$
$\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{IM}}x_{ \overrightarrow{AB}}+y_{ \overrightarrow{IM}}y_{ \overrightarrow{AB}}=0$
$\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow (x-\dfrac{9}{2})\times (-3)+(y-\dfrac{3}{2})\times (-9)=0$
$\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow -3x+\dfrac{27}{2}-9y+\dfrac{27}{2}=0$
$\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow -3x-9y+27=0$
On peut aussi trouver une équation cartésienne de la médiatrice de $[AB]$ en écrivant que $M\in (d)$ si $AM=BM$ ou bien $AM^2=BM^2$
soit $(x-6)^2+(y-6)^2=(x-3)^2+(y+3)^2$ puis en développant et en simplifiant les deux membres de cette égalité.
$(d')$ est la droite passant par $J$ le milieu de $[AC]$ et perpendiculaire à $(AC)$.
$\begin{cases} x_{J}=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{6+8}{2}=7\\ \\ y_{J}=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{6+2}{2}=4 \end{cases}$
donc $J(7;4)$
$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=8-6=2\\ y_{ \overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=2-6=-4\\ \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{AC}(2;-4)$
Soit $M(x;y)\in (d')$
$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{JM}}=x_M-x_J=x-7\\ y_{ \overrightarrow{JM}}=y_M-y_J=y-4 \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{JM}(x-7;y-4)$
$M\in(d) \Longleftrightarrow \overrightarrow{JM}. \overrightarrow{AC}=0$
$\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{JM}}x_{ \overrightarrow{AC}}+y_{ \overrightarrow{JM}}y_{ \overrightarrow{AC}}=0$
$\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow (x-7)\times 2+(y-4)\times (-4)=0$
$\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow 2x-14-4y+16=0$
$\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow 2x-4y+2=0$
$\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow x-2y+1=0$
- En déduire les coordonnées du centre du cercle $\mathcal{C}$ passant par $A$, $B$ et $C$ puis une équation de ce cercle.
Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$Le centre du cercle passant par $A$, $B$ et $C$ est équidistant des points $A$, $B$ et $C$
Il faut résoudre le système formé avec les équations de $(d)$ et $(d')$Le centre $\Omega$ du cercle passant par $A$, $B$ et $C$ est équidistant des points $A$, $B$ et $C$
donc $\Omega$ est le point d'intersection des droites $(d)$ et $(d')$.
Il faut résoudre le système formé avec les équations de $(d)$ et $(d')$:
$\phantom{\Longleftrightarrow} \begin{cases} -3x-9y+27=0 \\ x-2y+1=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} -3(2y-1)-9y+27=0 \\ x=2y-1 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} -6y+3-9y+27=0 \\ x=2y-1 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} -15y=-30 \\ x=2y-1 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} y=2 \\ x=2\times 2-1=3 \end{cases}$
$\Omega A=\sqrt{(x_A-x_{\Omega})^2+(y_A-y_{\Omega})^2}$
$\phantom{\Omega A}=\sqrt{(6-3)^2+(6-2)^2}$
$\phantom{\Omega A}=\sqrt{25}$
$\phantom{\Omega A}=5$
donc $\mathcal{C}$ admet pour centre $\Omega(3;2)$ et a pour rayon $r=5$
$\mathcal{C}$ admet donc pour équation:
$(x-x_{\Omega})^2+(y-y_{\Omega})^2=r^2$ soit $(x-3)^2+(y-2)^2=25$
Contrôle des calculs avec GEOGEBRA (commande "cercle passant par trois points")
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Droites perpendiculaires
- déterminer si deux droites sont perpendiculaires
- déterminer une équation cartésienne d'une perpendiculaire
infos: | mn |
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