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Le plan est muni d'un repère orthonormé.
  1. On donne la droite $(d)$ d'équation $-x+2y+1=0$.
    Donner les coordonnées d'un vecteur normal à $(d)$ puis déterminer une équation cartésienne de $(d)$ perpendiculaire à $(d)$ passant par $A(3;-2)$.

    Vecteur normal


    Le plan est muni d'un repère orthonormé.
    Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
    Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}(a;b)$

    Équation cartésienne


    Toute droite du plan dans un repère $(O;I;J)$ admet une équation appelée équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ réel et $(a;b)\neq (0;0)$ ($a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls).
    Le vecteur $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de cette droite.
    Utiliser les coordonnées du vecteur normal pour déterminer $a'$ et $b'$ puis les coordonnées de $A$ pour calculer $c'$ dans $a'x+b'y+c'=0$
    Le vecteur $ \overrightarrow{n}(a;b)$ avec $a=-1$ (coefficient de $x$) et $b=2$ (coefficient de $y$) est un vecteur normal à $(d)$

    $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ donc un vecteur directeur de $(d')$ perpendiculaire à $(d)$.
    Si $(a'x+b'y+c'=0$ est une équation cartésienne de $ (d')$ alors $\overrightarrow{n}(-b';a')$ et on a donc $-b'=-1$ soit $b'=1$ et $a'=2$
    donc $(d')$ admet une équation de la forme $2x+y+c'=0$
    $A\in (d')\Longleftrightarrow 2x_A+y_A+c'=0$
    $~~~~~~\Longleftrightarrow 2\times 3-2+c'=0$
    $~~~~~~\Longleftrightarrow c'=-4$

    Contrôle avec GEOGEBRA:
    Saisi l'équation de $(d)$ et placer le point $A$
    Tracer la droite perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$
    Contrôler avec l'équation obtenue dans la fenêtre ALGÈBRE


    $-2x-y=-4\Longleftrightarrow -2x-y+4=0\Longleftrightarrow 2x+y-4=0$
  2. On donne $B(-4;-1)$ et $C(-2;-3)$.
    Déterminer une équation cartésienne de $(d'')$ perpendiculaire à $(BC)$ passant par $C$.

    Orthogonalité


    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux. cours
    Un point $M(x;y)$ disctinc de $C$ appartient à $(d'')$ si et deulement si les vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CM}$ sont orthogonaux
    Soit $M(x;y)$ un point de $(d'')$.
    $\overrightarrow{CM}(x+2;y+3)$
    et $\overrightarrow{BC}(2;-2)$
    $M\in (d'') \Longleftrightarrow \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CM}=0$
    $~~~~~~~~~\Longleftrightarrow 2(x+2)+(-2)(y+3)=0$
    $~~~~~~~~~\Longleftrightarrow 2x+4-2y-6=0$
    $~~~~~~~~~\Longleftrightarrow 2x-2y-2=0$
    $~~~~~~~~~\Longleftrightarrow x-y-1=0$

    Contrôle avec GEOGEBRA
    Placer $B$ et $C$ puis tracer $(BC)$
    Tracer la droite perpendiculaire à $(BC)$ passant par $C$ puis contrôler avec l'équation obtenue dans la fenêtre ALGÈBRE
  3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(d'')$ et $(d)$

    Systèmes d'équations à deux inconnues


    $S: \begin{cases} ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{cases}$ avec $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ réels et $x$ et $y$ sont les deux inconnues.
    Le système $S$ admet une solution unique si et seulement si $ab'-a'b\neq 0$ (déterminant du système $S$).
    Il faut résoudre le système d'équations formé avec les deux équations de droite
    $\begin{cases} -x+2y+1=0\\ -x+y+1=0 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} -x+2(x-1)+1=0\\ y=x-1 ~~~~on ~~isole~~y~~pour ~~le ~~remplacer~~dans ~~la ~~ligne~1 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -x+2y+1=0\\ -x+y+1=0 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} -x+2x-2+1=0\\ y=x-1 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -x+2y+1=0\\ -x+y+1=0 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} -x+2x-1=0\\ y=x-1 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -x+2y+1=0\\ -x+y+1=0 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x-1=0\\ y=x-1 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -x+2y+1=0\\ -x+y+1=0 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x=1\\ y=1-1=0 \end{cases}$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Droites perpendiculaires

- déterminer si deux droites sont perpendiculaires
- déterminer une équation cartésienne d'une perpendiculaire


infos: | mn |

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