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On rappelle (voir ex 895) que $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2}{2}$
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- Dans un repère orthonormé, $\overbrace{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$.
Exprimer $||\overrightarrow{u}||^2$, $||\overrightarrow{v}||^2$, et $||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2$ en fonction de $x$, $y$, $x'$ et $y'$.Distance dans un repère
Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$$||\overrightarrow{u}||^2=x^2+y^2$
$||\overrightarrow{v}||^2=x'^2+y'^2$
$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}(x-x';y-y')$
$||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2=(x-x')^2+(y-y')^2$
$\phantom{||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2}=x^2-2xx'+x'^2+y^2-2yy'+y'^2$ - En déduire que $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$.
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Utiliser l'égalité rappellée en début d'exrecice et simplifier le second membre$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2}{2}$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{x^2+y^2+x'^2+y'^2-(x^2-2xx'+x'^2+y^2-2yy'+y'^2)}{2}$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{x^2+y^2+x'^2+y'^2-x^2+2xx'-x'^2-y^2+2yy'-y'^2}{2}$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{2xx'+2yy'}{2}$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{2(xx'+yy')}{2}$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
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