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Lors d'un tournoi d'échecs, les joueurs s'affrontent et à chaque tour, seul le gagnant de la partie peut poursuivre le tournoi. Par exemple, s'il y a 64 joueurs au premier tour, il n'en reste que 32 au tour suivant puis 16 ensuite et ainsi de suite jusqu'à la finale
Combien de joueurs y-avait-il au début du tournoi si on doit organiser 8 tours avant d'arriver à la finale?
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
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Combien de joueurs y-avait-il au début du tournoi si on doit organiser 8 tours avant d'arriver à la finale?
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
On note $N$ le nombre de joueurs inscrits
On peut noter $u_n$ le nombre de joueurs présents au tour d'indice $n$ ($n\leq N$), à savoir pour $n=0$, $u_0$ représente le nombre de joueurs présents au départ....
On peut noter $u_n$ le nombre de joueurs présents au tour d'indice $n$ ($n\leq N$), à savoir pour $n=0$, $u_0$ représente le nombre de joueurs présents au départ....
On pose $u_n$ le nombre joueurs présents au tour d'indice $n$ et $N$ le nombre de joueurs présents au début du tournoi.
$u_1$ correspond alors au nombre de joueurs présents au premier tour donc $u_1=N$
$u_2$ correspond au nombres de joueurs présents au second tour , soit la moitié des joueurs par rapport au tour précédent
et ainsi de suite jusqu'à $u_8$ qui correspond au nombre de joueurs présents en demi-finale
A chaque fois, le nombre de joueurs est divisé par deux par rapport au tour précédent puisque la moitié (les vainqueurs) sont qualifiés pour la suite.
On a donc $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2}$ et $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_1=N$ et raison $q=\dfrac{1}{2}$
donc $u_n=u_1\times q^{n-1}=\dfrac{N}{2^{n-1}}$
Le premier terme est $u_1$.
On a donc $u_8=4$ (8 tours avant la finale donc pour arriver aux demi-finales)
ou bien encore $u_9=2$ (finale)
$u_9=\dfrac{N}{2^{9-1}}$
$\Longleftrightarrow 2=\dfrac{N}{2^8}$
$\Longleftrightarrow N=2\times 2^8=2^9=512$
Penser à vérifier le résultat avec la calculatrice
$u_1$ correspond alors au nombre de joueurs présents au premier tour donc $u_1=N$
$u_2$ correspond au nombres de joueurs présents au second tour , soit la moitié des joueurs par rapport au tour précédent
et ainsi de suite jusqu'à $u_8$ qui correspond au nombre de joueurs présents en demi-finale
A chaque fois, le nombre de joueurs est divisé par deux par rapport au tour précédent puisque la moitié (les vainqueurs) sont qualifiés pour la suite.
On a donc $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2}$ et $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_1=N$ et raison $q=\dfrac{1}{2}$
donc $u_n=u_1\times q^{n-1}=\dfrac{N}{2^{n-1}}$
Le premier terme est $u_1$.
On a donc $u_8=4$ (8 tours avant la finale donc pour arriver aux demi-finales)
ou bien encore $u_9=2$ (finale)
$u_9=\dfrac{N}{2^{9-1}}$
$\Longleftrightarrow 2=\dfrac{N}{2^8}$
$\Longleftrightarrow N=2\times 2^8=2^9=512$
Penser à vérifier le résultat avec la calculatrice
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