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On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
$u_{0} = - 1$, $u_{1} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}$.
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$u_{0} = - 1$, $u_{1} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}$.
- Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$On peut vérifier que la somme de deux termes consécutifs n'est pas constante en utilisant $u_0$, $u_1$ et $u_2$
On peut ensuite vérifier que le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constantpour tout entier naturel $n$, $u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}$.
et en prenant $n=0$, on a $u_2=u_1-\dfrac{1}{4}u_0=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\times (-1)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
$u_1-u_0=\dfrac{1}{2}-(-1)=\dfrac{3}{2}$ et $u_2-u_1=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
donc $u_1-u_0\neq u_2-u_1$
$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{-1}=\dfrac{-1}{2}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3}{2}$
donc $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$
- On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}$
- Calculer $v_{0}$.
- Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$.
Il faut exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+2}$ et $u_{n+1}$ puis en fonction de $u_{n+1}$ et $u_n$ pour avoir une relation de la forme $v_{n+1}=qv_n=q \left( u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n} \right)$Pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}$
donc $v_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1}$ et $u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}$
$v_{n+1}=u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n} - \dfrac{1}{2}u_{n+1}$
$\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{1}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}$
$\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left( u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}\right)$ et $v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}$
$\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{1}{2}v_n$
- En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n$
- Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=1$
donc $v_n=v_0\times q^n=1\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=\dfrac{1}{2^n}$
- On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$: $w_{n} = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}$
- Calculer $w_{0}$.
- En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$, exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$.
$w_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}$ avec $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$ et $v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n$Pour tout entier naturel $n$: $w_{n} = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}$
donc $w_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}$
$w_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}$ avec $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$ et $v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n$
$\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}}{\dfrac{1}{2}v_n}$
$\phantom{w_{n+1}}=\left( v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}\right)\times \dfrac{2}{v_n}$
$\phantom{w_{n+1}}=v_{n}\times \dfrac{2}{v_n} + \dfrac{1}{2}u_{n}\times \dfrac{2}{v_n}$
$\phantom{w_{n+1}}=2 + \dfrac{u_{n}}{v_n} $
- En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $ w_{n+1} = w_{n} + 2$.
- Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$Pour tout entier naturel $n$, $ w_{n+1} = w_{n} + 2$
donc $(w_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=2$ et premier terme $w_0=-1$
donc $w_n=w_0+n\times r=-1+2n$
- Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}$.
On a $w_{n} = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}$ et les formes explicites des suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont connuesPour tout entier naturel $n$, on a $w_{n} = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}$
donc $u_n=w_n\times v_n$ avec $w_n=-1+2n$ et $v_n=\dfrac{-1}{2^n}$
donc $u_n=(-1+2n)\times \dfrac{-1}{2^n}$
donc $u_n=\dfrac{2n-1}{2^n}$
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