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La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100000 ouvrages au total.
Pour l'ouverture prévue le premier janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35000 ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de 7000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
Partie A
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5% des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter 6000 ouvrages neufs.
On appelle $u_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le premier janvier de l'année $(2013~+~n)$. On donne $u_{0} = 42$.
Pour l'ouverture prévue le premier janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35000 ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de 7000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
Partie A
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5% des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter 6000 ouvrages neufs.
On appelle $u_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le premier janvier de l'année $(2013~+~n)$. On donne $u_{0} = 42$.
- Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n+1} = u_{n} \times 0,95 + 6$.
Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$Diminuer une quantité de 5% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{5}{100}$
La quantité d'ouvrages est donnée en milliers$u_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le premier janvier de l'année $(2013~+~n)$.
donc l'année suivante (année $2013+n+1$), il y a $u_{n+1}$ milliers d'ouvrages.
le nombre d'ouvrages est donné en milliers donc pour 6000 on va prendre 6 milliers
$u_n$ diminue de 5%, on a alors $u_n-\dfrac{5}{100}u_n=0,95u_n$ milliers d'ouvrages.
On en ajoute ensuite 6000 ouvrages soit 6 milliers d'ouvrages, on a donc l'année suivante $0,95u_n+6$ milliers d'ouvrages.
Variante possible pour la rédaction:
Diminuer une valeur de 5% revient à lui appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{5}{100}=0,95$, on a donc l'année suivante $0,95u_n$ ouvrages auxquels s'ajoutent 6000 ouvrages soit 6 milliers
donc $u_{n+1}=0,95u_n+6$.- On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.
Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
On peut essayer de faire fonctionner cet algorithme à la main en mode pas à pasTableau des étapes de l'algorithme
A chaque passage dans la boucle Tant que, on calcule $u_{n+1}=0,95u_n+6$ avec $u_0=42$ (initialisation avec $U=42$ et $N=0$).
La boucle s'arrête dès que $U>100$ donc l'algorithme affiche le premier entier $N$ permettant de dépasser le nombre de 100 milliers d'ouvrages.- À laide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme.
On peut utiliser le MENU RECUR(CASIO) ou SUites(TI premium et NumWorks) de la calculatrice en saisissant $0,95u_n+6$Avec la calculatrice CASIO MENU RECUR puis on sélectionne $a_{n+1}$ pour saisir la relation de récurrence et le terme initial.
voir vidéo calculatrice et suites pour CASIO, TI PREMIUM et NumWorks
Avec la calculatrice, on obtient $u_{26}\approx 99,445$ et $u_{27}\approx 100,473$
Partie B
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6000 prévus. On appelle $v_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le premier janvier de l'année $(2013~+~n)$.- Identifier et écrire la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme pour prendre en compte ce changement.
On ajoute maintenant chaque année 4000 ouvrages soit 4 milliers d'ouvrages et la baisse est toujours de 5
donc $v_{n+1}=0,95v_n+4$
Il faut modifier la ligne 8, c'est à dire remplacer $U\times 0,95+6$ par $U\times 0,95+4$ - On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie, pour tout entier $n$, par $w_{n} = v_{n} - 80$.
Montrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_{0}$.Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$On a $w_{n+1} = v_{n+1} - 80$ et $v_{n+1}=0,95v_n+4$$(w_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que $w_{n+1}=qw_n$ pour tout entier naturel $n$.
Pour tout entier naturel $n$, on a $w_n=v_n-80$ et $v_{n+1}=0,95v_n+4$ (on ajoute seulement 4000 ouvrages)
On prend l'indice $n+1$ dans la relation donnée dans l'énoncé
$w_{n+1}=v_{n+1}-80$ (On remplace $v_{n+1}$ par $0,95v_n+4$)
$\phantom{w_{n+1}}=0,95v_n+4-80$
$\phantom{w_{n+1}}=0,95v_n-76$ (Pour obtenir $qw_n$, il faut mettre 0,95 en facteur)
$\phantom{w_{n+1}}=0,95(w_n+80)-76$ on a $w_n=v_n-80$ donc on peut remplacer $v_n$ par $w_n+80$
$\phantom{w_{n+1}}=0,95w_n+76-76$
$\phantom{w_{n+1}}=0,95w_n$
Pour calculer $w_0$, on prend $n=0$ dans la relation de l'énoncé $w_n=v_n-80$
On a $v_0=42$
$w_0=v_0-80=42-80=-38$
Variante pour montrer que $(w_n)$ est géométrique
$w_{n+1}=v_{n+1}-80$ (On remplace $v_{n+1}$ par $0,95v_n+4$)
$\phantom{w_{n+1}}=0,95v_n+4-80$
$\phantom{w_{n+1}}=0,95v_n-76$ (On a $w_n=v_n-80$ donc $v_n=w_n+80$)
$\phantom{w_{n+1}}=0,95(w_n+80)-76$
$\phantom{w_{n+1}}=0,95w_n+76-76$
$\phantom{w_{n+1}}=0,95w_n$ - Montrer que $v_n=-38\times 0,95^n+80$
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$On a $w_{n} = w_0\times q^n$ et $v_{n}=w_n+80$$w_n=w_0\times q^n=-38\times 0,95^n$
$w_n=v_n-80$ donc $v_n=w_n+80=-38\times 0,95^n+80$
- Déterminer la limite de $\left(w_{n}\right)$.
Limite de $q^n$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$ pour $-1< q < 1$
Si $q> 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$$(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,95$ et $q \in ]-1;1[$$(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,95$ et on a $-1 < q < 1$
$\displaystyle \lim_{n\longrightarrow +\infty} 0,95^n=0$
- En déduire la limite de $\left(w_{n}\right)$.
- Donner une interprétation du résultat précédent.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.Suites arithmético-géométrique
- justifier qu'une suite auxiliaire est géométrique - déterminer la forme explicite -étude des variations
infos: | 15-20mn |exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices. - On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.