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Pierre a deux propositions pour son salaire mensuel lors de son arrivée dans une entreprise le 01/01/2009:
Proposition 1:Il commence avec un salaire de 2000 euros mensuel la première année et son salaire mensuel augmente chaque année de 115 euros.
Proposition 2: Il commence avec un salaire de 2000 euros mensuel la première année et son salaire mensuel augmente chaque année de 5%.
Partie A: étude de la proposition 1
On note $u_n$ son salaire du mois de janvier de l'année 2009+n avec la proposition 1.
Partie B: étude de la proposition 2
On note $v_n$ son salaire du mois de janvier de l'année 2009+n avec la proposition 2.
Partie C: comparaison des deux propositions
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Proposition 1:Il commence avec un salaire de 2000 euros mensuel la première année et son salaire mensuel augmente chaque année de 115 euros.
Proposition 2: Il commence avec un salaire de 2000 euros mensuel la première année et son salaire mensuel augmente chaque année de 5%.
Partie A: étude de la proposition 1
On note $u_n$ son salaire du mois de janvier de l'année 2009+n avec la proposition 1.
- Déterminer $u_0$ puis calculer $u_1$
$u_0$ est le salaire pendant l'année 2009 donc $u_0=2000$ euros mensuels.
$u_1$ est le salaire pendant l'année 2010 donc $u_1=u_0+115=2115$ euros mensuels. (le salaire mensuel augmente de 115 euros chaque année)
- Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$$u_n$ est le salaire mensuel de l'année d'indice $n$ et $u_{n+1}$ est le salaire mensuel de l'année suivante.
Chaque année, on ajoute 115 euros au salaire mensuel donc $u_{n+1}=u_n+115$ (forme $u_{n+1}=u_n+r$)
- Exprimer $u_n$ en fonction de $n$
Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$$(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=2000$ et raison $r=115$
donc $u_n=u_0+nr=2000+115n$
- Déterminer à partir de quelle année son salaire mensuel sera supérieur à 2800 euros avec la proposition 1.
utiliser l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ (forme explicite) pour résoudre $u_n\geq 2800$On cherche $n$ tel que $u_n>2800$.
$u_n>2800$
$\Longleftrightarrow 2000+115n>2800$
$\Longleftrightarrow 115n>800$
$\Longleftrightarrow n>\dfrac{800}{115}$
et $n$ est un entier donc $n\geq 7$
l'année d'indice 7 correspond à $2009+7=2016$
Partie B: étude de la proposition 2
On note $v_n$ son salaire du mois de janvier de l'année 2009+n avec la proposition 2.
- Déterminer $v_0$ puis calculer $v_1$
Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$$v_0$ est le salaire pendant l'année 2009 donc $v_0=2000$ euros mensuels.
$v_1$ est le salaire pendant l'année 2010
Rappel: augmenter une valeur de 5% revient à la multiplier par $1+\dfrac{5}{100}=1,05$
donc $v_1=v_0+v_0\times \dfrac{5}{100}=1,05v_0=2100$ euros mensuels. (le salaire mensuel augmente de 5% chaque année)
- Quelle est la nature de la suite $(v_n)$?
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$$v_n$ est le salaire mensuel de l'année d'indice $n$ et $v_{n+1}$ est le salaire mensuel de l'année suivante soit $v_n$ augmenté de 5%
$v_{n+1}=v_n+v_n\times \dfrac{5}{100}=1,05v_n$ (forme $v_{n+1}=qv_n$)
- Exprimer $v_n$ en fonction de $n$
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,05$ et premier terme $v_0=2000$
donc $v_n=v_0\times q^n=2000\times 1,05^n$
- Avec la calculatrice ou un tableur, déterminer à partir de quelle année son salaire mensuel sera supérieur à 2800 euros avec la proposition 2.
Il faut utiliser l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis résoudre l'inéquation $v_n\geq 2800$ d'inconnue $n$Il faut résoudre l'inéquation $v_n>2800$
$v_n>2800$
$\Longleftrightarrow 2000\times 1,05^n>2800$
$\Longleftrightarrow 1,05^n>\dfrac{2800}{2000}$
$\Longleftrightarrow 1,05^n>\dfrac{7}{5}$
$\Longleftrightarrow 1,05^n>1,4$
Avec le menu table de la calculatrice en saisissant la fonction Y1$=1,05^x$ et en paramétrant dans SET X-START:0, X-END:50 par exemple et PITCH:1
on obtient $1,05^6\simeq 1,34$ et $1,05^7\simeq 1,407$
donc le salaire est supérieur à 2800 euros à partir de l'année de d'indice $n=7$ soit $2009+7=2016$
On peut aussi saisir la suite $v_n$ dans le menu suite de la calculatrice (voir vidéo calculatrice et suites)
Partie C: comparaison des deux propositions
- Déterminer quelle est la proposition permettant d'avoir un salaire mensuel le plus élevé en 2019.
- On note $S_u$ la somme totale gagnée par Pierre entre le 01/01/2009 et le 31/12/2019 (année 2019 inclue) avec la proposition 1 et $S_v$ la somme totale gagnée par Pierre entre le 01/01/2009 et le 31/12/2019 (année 2019 inclue) avec la proposition 2.
Calculer $S_u$ et $S_v$ et déterminer la proposition la plus avantageuse si il reste dans l'entreprise jusqu'au 31/12/2019.
Somme des termes d'une suite arithmétique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est
$S=n+1\dfrac{u_0+u_n }{2}$ avec $u_n=u_0+nr$
Mémo: $S=$nombre de termes$\times \dfrac{\text{premier terme}+\text {dernier terme}}{2}$Somme des termes d'une suite géométrique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
$S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$les deux suites correspondent au salaire mensuel pour chaque année$S_u=12\times (u_0+u_1+...+u_{10}$
$u_{10}=2000+115\times 10=3150$
$u_0+u_1+u_2+...+u_{10}=11\times \dfrac{u_0+u_{10}}{2}=11\dfrac{2000+3150}{2}=28325$
$S_u=12\times 28325=339900$
Avec la proposition 1, il va gagner au total $339900$ euros.
$S_v=12\times (v_0+v_1+...+v_{10}$
$(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=2000$ et raison $q=1,05$
$v_0+v_1+v_2+...+v_{10}=v_0 \dfrac{1-q^{11}}{1-q}=2000\dfrac{1-1,05^{11}}{1-1,05}=2000\dfrac{1,05^{11}-1}{0,05}$
$S_u=12\times 2000\dfrac{1,05^{11}-1}{0,05}\approx 340963$
Avec la proposition 2, il va gagner au total $340963$ euros environ.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Suites arithmétiques et géométriques
- justifier qu'une suite est arithmétique
- calculer la raison d'une suite arithmétique
- somme des termes d'une suite arithmétique
- justifier qu'une suite est géométrique
- calculer la raison d'une suite géométrique
- somme des termes d'une suite géométrique
infos: | 15mn |
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