Pierre a deux propositions pour son salaire mensuel lors de son arrivée dans une entreprise le 01/01/2009:
Proposition 1:Il commence avec un salaire de 2000 euros mensuel la première année et son salaire mensuel augmente chaque année de 115 euros.

Proposition 2: Il commence avec un salaire de 2000 euros mensuel la première année et son salaire mensuel augmente chaque année de 5%.
Partie A: étude de la proposition 1
On note $u_n$ son salaire du mois de janvier de l'année 2009+n avec la proposition 1.

1. Déterminer $u_0$ puis calculer $u_1$

   Solution

   $u_0$ est le salaire pendant l'année 2009 donc $u_0=2000$ euros mensuels.
   $u_1$ est le salaire pendant l'année 2010 donc $u_1=u_0+115=2115$ euros mensuels. (le salaire mensuel augmente de 115 euros chaque année)
   $u_0=1000$ et $u_1=2115$
2. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?

   Rappel de cours

   Suite arithmétique

   ---

   Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
   $r$ est la raison de la suite.
   On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$

   Solution

   $u_n$ est le salaire mensuel de l'année d'indice $n$ et $u_{n+1}$ est le salaire mensuel de l'année suivante.
   Chaque année, on ajoute 115 euros au salaire mensuel donc $u_{n+1}=u_n+115$ (forme $u_{n+1}=u_n+r$)
   $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=2000$ et raison $r=115$
3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$

   Rappel de cours

   Forme explicite d'une suite arithmétique

   ---

   Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
   $u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
   
   Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$

   Solution

   $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=2000$ et raison $r=115$
   donc $u_n=u_0+nr=2000+115n$
   $u_n=2000+115n$
4. Déterminer à partir de quelle année son salaire mensuel sera supérieur à 2800 euros avec la proposition 1.

   Aide

   utiliser l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ (forme explicite) pour résoudre $u_n\geq 2800$

   Solution

   On cherche $n$ tel que $u_n>2800$.
   $u_n>2800$
   $\Longleftrightarrow 2000+115n>2800$
   $\Longleftrightarrow 115n>800$
   $\Longleftrightarrow n>\dfrac{800}{115}$
   et $n$ est un entier donc $n\geq 7$
   l'année d'indice 7 correspond à $2009+7=2016$
   Le salaire mensuel est supérieur à 2800 euros à partir de l'année 2016

Partie B: étude de la proposition 2
On note $v_n$ son salaire du mois de janvier de l'année 2009+n avec la proposition 2.

1. Déterminer $v_0$ puis calculer $v_1$

   Rappel de cours

   Coefficient multiplicateur

   ---

   Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
   Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$

   Solution

   $v_0$ est le salaire pendant l'année 2009 donc $v_0=2000$ euros mensuels.
   $v_1$ est le salaire pendant l'année 2010
   Rappel: augmenter une valeur de 5% revient à la multiplier par $1+\dfrac{5}{100}=1,05$
   donc $v_1=v_0+v_0\times \dfrac{5}{100}=1,05v_0=2100$ euros mensuels. (le salaire mensuel augmente de 5% chaque année)
   $v_0=2000$ et $v_1=2100$
2. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$?

   Rappel de cours

   Suite géométrique

   ---

   Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
   $q$ est la raison de la suite.
   Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

   Solution

   $v_n$ est le salaire mensuel de l'année d'indice $n$ et $v_{n+1}$ est le salaire mensuel de l'année suivante soit $v_n$ augmenté de 5%
   $v_{n+1}=v_n+v_n\times \dfrac{5}{100}=1,05v_n$ (forme $v_{n+1}=qv_n$)
   $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,05$ et premier terme $v_0=2000$
3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$

   Rappel de cours

   Forme explicite d'une suite géométrique

   ---

   Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
   $u_n=u_0\times q^n$
   et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

   Solution

   $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,05$ et premier terme $v_0=2000$
   donc $v_n=v_0\times q^n=2000\times 1,05^n$
   $v_n=2000\times 1,05^n$
4. Avec la calculatrice ou un tableur, déterminer à partir de quelle année son salaire mensuel sera supérieur à 2800 euros avec la proposition 2.

   Aide

   Il faut utiliser l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis résoudre l'inéquation $v_n\geq 2800$ d'inconnue $n$

   Solution

   Il faut résoudre l'inéquation $v_n>2800$
   $v_n>2800$
   $\Longleftrightarrow 2000\times 1,05^n>2800$
   $\Longleftrightarrow 1,05^n>\dfrac{2800}{2000}$
   $\Longleftrightarrow 1,05^n>\dfrac{7}{5}$
   $\Longleftrightarrow 1,05^n>1,4$
   Avec le menu table de la calculatrice en saisissant la fonction Y1$=1,05^x$ et en paramétrant dans SET X-START:0, X-END:50 par exemple et PITCH:1
   on obtient $1,05^6\simeq 1,34$ et $1,05^7\simeq 1,407$
   donc le salaire est supérieur à 2800 euros à partir de l'année de d'indice $n=7$ soit $2009+7=2016$
   Le salaire mensuel est supérieur à 2800 euros à partir de 2016
   Remarque
   On peut aussi saisir la suite $v_n$ dans le menu suite de la calculatrice (voir vidéo calculatrice et suites)

Partie C: comparaison des deux propositions

1. Déterminer quelle est la proposition permettant d'avoir un salaire mensuel le plus élevé en 2019.

   Aide

   $2019=1009+10$ donc on doit prendre $n=10$

   Solution

   $2019=2009+10$
   Il faut donc calculer $u_{10}$ et $v_{10}$
   $u_{10}=2000+115\times 10=3150$ euros mensuels en 2019 avec la première formule.
   $v_{10}=2000\times 1,05^{10}\simeq 3258$ euros mensuels environ avec la seconde formule.
   En 2019, le salaire mensuel de la proposition 2 est supérieur à celui de proposition 1.
2. On note $S_u$ la somme totale gagnée par Pierre entre le 01/01/2009 et le 31/12/2019 (année 2019 inclue) avec la proposition 1 et $S_v$ la somme totale gagnée par Pierre entre le 01/01/2009 et le 31/12/2019 (année 2019 inclue) avec la proposition 2. Calculer $S_u$ et $S_v$ et déterminer la proposition la plus avantageuse si il reste dans l'entreprise jusqu'au 31/12/2019.

   Rappel de cours

   Somme des termes d'une suite arithmétique

   ---

   La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est
   $S=n+1\dfrac{u_0+u_n }{2}$ avec $u_n=u_0+nr$
   
   Mémo: $S=$nombre de termes$\times \dfrac{\text{premier terme}+\text {dernier terme}}{2}$

   Somme des termes d'une suite géométrique

   ---

   La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
   $S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
   Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$

   Aide

   les deux suites correspondent au salaire mensuel pour chaque année

   Solution

   $S_u=12\times (u_0+u_1+...+u_{10}$
   $u_{10}=2000+115\times 10=3150$
   $u_0+u_1+u_2+...+u_{10}=11\times \dfrac{u_0+u_{10}}{2}=11\dfrac{2000+3150}{2}=28325$
   $S_u=12\times 28325=339900$
   Avec la proposition 1, il va gagner au total $339900$ euros.
   $S_v=12\times (v_0+v_1+...+v_{10}$
   $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=2000$ et raison $q=1,05$
   $v_0+v_1+v_2+...+v_{10}=v_0 \dfrac{1-q^{11}}{1-q}=2000\dfrac{1-1,05^{11}}{1-1,05}=2000\dfrac{1,05^{11}-1}{0,05}$
   $S_u=12\times 2000\dfrac{1,05^{11}-1}{0,05}\approx 340963$
   Avec la proposition 2, il va gagner au total $340963$ euros environ.
   S'il reste jusqu'au 31/12/2019, ul aura intérêt à choisir la proposition 2.