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Déterminer si elles existent, les racines des polynômes de degré 2 sans calculer le discriminant ($\Delta$)
  1. $P(x)=x^2-4x+3$

    Somme et produit des racines


    Si le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$ alors on a:
    $ x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}$ (somme des racines)
    et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ (produit des racines)
    Rechercher une racine possible sans calculer $\Delta$ (essayer des nombres entiers par exemple: -2, -1 , 1, 2....
    Utiliser alors le produit ou la somme des racines pour déterminer la seconde racine de $P(x)$
    On a $a=1$, $b=-4$ et $c=3$
    et la somme des coefficients de $P(x)$ est égale à 0.
    donc $P(1)=a+b+c=1-4+3=0$
    donc $x_1=1$ est une racine de $P(x)$
    Si on note $x_2$ la seconde racine de $P(x)$, on a alors:
    $x_1\times x_2=1\times x_2=\dfrac{c}{a}=3$ donc $x_2=3$
  2. $P(x)=3x^2+8$
    On se trouve dans le cas particulier où le coefficient de $x$ est égal à 0: $b=0$
    On peut déterminer les racines sans calculer $\Delta$
    Il faut alors résoudre l'équation $P(x)=3x^2+8=0$ en "isolant" $x^2$
    $P(x)=3x^2+8=0 \Longleftrightarrow 3x^2=-8$

    $\phantom{P(x)=3x^2+8} \Longleftrightarrow x^2=\dfrac{-8}{3}$
    $x^2\geq 0$ donc cette équation n'admet aucune solution.
  3. $P(x)=-2x^2+8x$
    On se trouve dans le cas particulier où le coefficient de $c$ est égal à 0.
    On peut déterminer les racines sans calculer $\Delta$
    Il faut alors résoudre l'équation $P(x)=-2x^2+8x=0$ en factorisant
    $-2x^2+8x=0 \Longleftrightarrow x(-2x+8)=0$

    $\phantom{-2x^2+8x=0} \Longleftrightarrow x=0$ ou $-2x+8=0$

    $\phantom{-2x^2+8x=0} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=4$


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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Cas particuliers où le discriminant n'est pas utile

- cas où $b=0$
- cas où $c=0$
- utilisation du produit des racines


infos: | 6-8mn |