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Une urne A contient deux boules avec les numéros 1 et 2.
Une urne B contient trois boules avec les numéros 1, 2 et 3.
Une urne C contient deux boules avec les numéros 1 et 2.
On prend une boule dans l'urne A et on note $x$ le numéro obtenu, une boule dans l'urne B et on note $y$ le numéro obtenu puis une boule dans l'urne C et on note $z$ le numéro obtenu.
On a donc un triplet $(x;y;z)$ avec les trois chiffres obtenus.
  1. A l'aide d'un arbre, déterminer le nombre de triplets $(x;y;z)$ possibles.
    On a donc deux branches au départ pour le tirage dans l'urne A puis trois branches pour le tirage dans l'urne B puis deux branches pour le tirage dans l'urne C
    On a donc l'arbre suivant:

  2. Quelle est alors la probabilité d'obtenir le triplet $(1;2;1)$?

    Probabilité avec une loi équirépartie


    Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement A est $p(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$
    Il y a un cas parcours possible sur l'arbre permettant d'obtenir $(1;2;1)$
  3. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une fois le chiffre 2 dans le triplet $(x;y;z)$?
    Il faut déterminer tous les parcours sur l'arbre contenant exactement une fois le chiffre 2
    On repère en rouge les parcours contenant une fois le chiffre 2.

    Il y a 5 parcours sur l'arbre contenant une fois le chiffre 2
  4. Quelle est la probabilité de l'événement $E$: "obtenir un triplet $(x;y;z)$ sans le chiffre 2"?
    Il faut déterminer tous les parcours sur l'arbre ne contenant pas le chiffre 2
    On repère en rouge les parcours contenant ne contenant pas le chiffre 2.

    Il y a 2 parcours sur l'arbre ne contenant pas le chiffre 2
    on a $p(E)=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$
  5. En déduire la probabilité d'obtenir au moins une fois le chiffre 2 dans le triplet $(x;y;z)$.

    Notations des événements et probabilités


    $\Omega$ est l'événement certain et $p(\Omega)=1$
    $\oslash$ est l'événement impossible et $p(\oslash)=0$
    $\overline{A}$ est l'événement contraire de A et est composé de toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas contenue dans A et $p(\overline{A})=1-p(A)$
    "Au moins une fois le chiffre 2" est le contraire de "aucun chiffre 2"
    Si on note $F$ l'événement " le triplet $(x;y;z)$ ne contient au moins une fois le chiffre 2"
    alors $F$ est le contraire de l'événement $E$
    et $p(F)=1-p(E)=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$

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