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Dans le plan muni d'un repère orthogonal, la droite $d$ a pour équation réduite $y=\sqrt{2}x-3$ et on donne les points $A(3;-1)$ et $B(4;\sqrt{2})$.
  1. Déterminer l'équation réduite de $(AB)$.

    Déterminer l'équation réduite de $(AB)$


    Dans un repère du plan, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$, pour déterminer l'équation réduite de $(AB)$:
    - Calcul du coefficient directeur
    $a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
    - Calcul de $b$
    Le point $A$ appartient à la droite $(AB)$ donc ses coordonnées vérifient $y_A=ax_A+b$ (équation d'inconnue $b$)
    $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{\sqrt{2}-(-1)}{4-3}=\sqrt{2}+1$
    L'équation réduite de $(AB)$ est de la forme $y=(\sqrt{2}+1)x+b$.
    $A(3;-1)$ appartient à la droite $(AB)$ donc $y_A=(\sqrt{2}+1)x_A+b$.
    $-1=(\sqrt{2}+1)\times 3+b \Longleftrightarrow -1=3\sqrt{2}+3+b$
    $\phantom{-1=(\sqrt{2}+1)\times 3+b} \Longleftrightarrow -1-3\sqrt{2}-3=b$
    $\phantom{-1=(\sqrt{2}+1)\times 2+b} \Longleftrightarrow -3\sqrt{2}-4=b$
  2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $d$ et $(AB)$.
    On doit résoudre le système d'équations formé avec les deux équations de droites
    Par substitution, il faut remplacer $y$ par son expression en fonction de $x$ dans la seconde équation
    $d$ a pour équation réduite $y=\sqrt{2}x-3$.
    et $(AB)$ a pour équation réduite $y=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4$
    donc il faut résoudre l'équation $\sqrt{2}x-3=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4$
    $\sqrt{2}x-3=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4 \Longleftrightarrow \sqrt{2}x-3=\sqrt{2}x+x-3\sqrt{2}-4$
    $\phantom{\sqrt{2}x-3=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4} \Longleftrightarrow \sqrt{2}x-\sqrt{2}x-x=+3-3\sqrt{2}-4$
    $\phantom{\sqrt{2}x-3=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4} \Longleftrightarrow -x=-3\sqrt{2}-1$
    $\phantom{\sqrt{2}x-3=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4} \Longleftrightarrow x=3\sqrt{2}+1$
    et donc $y=\sqrt{2}\times (3\sqrt{2}+1)-3=3\times 2+\sqrt{2}-3=3+\sqrt{2}$.


    Contrôler rapidement avec la calculatrice en remplaçant $x$ par $3\sqrt{2}+1$ dans chacune des équations $y=\sqrt{2}x-3$ et $y=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4$, on obtient bien $y_I=3+\sqrt{2}$
  3. Donner une valeur arrondie aux centièmes de $x_I$.
    Contrôler le résultat en traçant les deux droites avec un logiciel de géométrie(geogebra).
    Avec Geogebra, il faut saisir les deux équations dans la barre de saisie (en bas d'écran)
    Avec Geogebra, la racine carrée de 2 s'écrit sqrt(2)
    $x_I=3\sqrt{2}+1\approx 5,24$ et $y_I=3+\sqrt{2}\approx 4,41$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Équation réduite

- tracer une droite
- déterminer l'équation réduite
- déterminer l'équation réduite d'une parallèle


infos: | 20mn |

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