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Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la droite (d) a pour équation $2x-y+1=0$ et la droite (d') a pour équation $y=-2x+5$
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- Le point $A(-1;-1)$ appartient-il à (d)? à (d')?
Un point appartient à une droite (d) si ses coordonnées vérifient une équation de (d)$2x_A-y_A+1=-2+1+1=0$ donc $A\in $(d)
Ne pas écrire dès le départ $2x_A-y_A+1=0\Longleftrightarrow -2+1+1=0$...... puisque c'est ce que l'on veut vérifier
$-2x_A+5=2+5=7\neq y_A$
donc $A\notin (d')$
Ne pas écrire dès le départ $y_A=-2\times x_A+5=7$ puisque c'est ce que l'on veut vérifier (et $y_A$ n'est pas égal à 7).... - Tracer (d) et (d') dans le repère orthonormé et placer le point A.
Tracer une droite
Pour tracer une droite donnée par une équation cartésienne, on peut:
1. choisir deux valeurs de $x$ et calculer l'ordonnée correspondante avec l'équation de $(d)$ et placer les deux points obtenus
2. utiliser un vecteur directeur de $(d)$ et calculer l'ordonnée d'un point de $(d)$ en choisissant une valeur de $x$Pour tracer (d) et (d') il faut déterminer les coordonnées de deux points de chacune des droites ou bien de un point et d'un vecteur directeur pour chaque droitePour la droite (d):
Si $x=0$, on a $-y+1=0\Longleftrightarrow y=1$
et si $y=0$, on a $2x+1=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}$
Pour la droite (d'):
Si $x=0$, on a $y=-2\times 0+5=5$
et si $x=2$, on a $y=-2\times 2+5=-4+5=1$
La droite (d) a pour équation $2x-y+1=0$ donc $\overrightarrow{u}(1;2)$ est un vecteur directeur de (d) et $A\in$(d)
on a alors:
- (d) et (d') sont-elles parallèles?
Vecteur directeur dans un repère
Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}(1;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
Avec les coefficients directeurs: deux droites son parallèles si leurs coefficientns directeurs sont égaux(d) a pour équation $2x-y+1=0$ donc $\overrightarrow{u}(1;2)$ est un vecteurs directeur de (d)
et la droite (d') a pour équation $y=-2x+5$ donc $\overrightarrow{v}(1;-2)$ est un vecteur directeur de (d')
$x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{v}}- y_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}}=1\times (-2)-2\times 1=-4$
donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires et les droites (d) et (d') sont sécantes.
Avec les coefficients directeurs:
$2x-y+1=0\Longleftrightarrow y=2x+1$ donc le coefficient directeur de (d) est $m=2$.
L'équation réduite de (d') est $y=-2x+5$ est $m'=-2$
$m\neq m'$ donc (d) et (d') sont sécantes. - Donner les coordonnées du point d'intersection de (d) et (d').
On peut utiliser le graphique puis vérifier que ce point appartient bien à (d) et à (d')
Sans utiliser le graphique, il faut résoudre le système d'équation formé avec les équations des droites (d) et (d')Graphiquement, il semble que le point $I(1;3)$ soit le point d'intersection de (d) et (d').
$2x_I-y_I+1=2-3+1=0$ donc $I\in $(d)
$-2x_I+5=-2\times 1+5=3=y_A$
donc $I\in $(d')
Sans utiliser au préalable le graphique, il faut résoudre le système d'équations:
$\phantom{\Longleftrightarrow} \begin{cases} 2x-y+1=0 \\ y=-2x+5 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 2x-(-2x+5)+1=0 \text{ on remplace }y \text{ par } -2x+5 \\ y=-2x+5 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 4x-5+1+=0 \\ y=-2x+5 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 4x=4 \\ y=-2x+5 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x=1 \\ y=-2\times 1+5=3 \end{cases}$
Penser à vérifier la solution obtenue en remplaçant $x$ et $y$ par leurs valeurs dans chacune des équations
On peut aussi utiliser la calculatrice et résoudre le système d'équations (voir chap 5: fiche méthode calculatrice et systèmes d'équations)
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Systèmes d'équations
- résolution par substitution
- résolution par combinaisons
- intersection de deux droites
infos: | 15-20mn |
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