Publications MATHS-LYCEE.FR

mémo+exercices corrigés+liens vidéos

L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

RÉUSSIR EN MATHS, C'EST POSSIBLE!
Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos

Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!

Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.
*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
PDF reservé aux abonnés
$ABCD$ est un parallélogramme et les points E et F sont définies par les relations
$\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
  1. Construire la figure en plaçant tous les points de l'énoncé
    Pour construire le point $E$, il faut effectuer la translation de vecteur $3\overrightarrow{AB}$ en partant du point $A$
    Pour construire le point $F$, il faut effectuer la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ en partant du point $D$
    Le point $E$ est l'image du point $A$ par la translation $3\overrightarrow{AB}$
    Le point $F$ est l'image du point $D$ par la translation $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
  2. Montrer que les points $C$, $E$ et $F$ sont alignés.
    On pourra décomposer les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ en fonction de vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ par exemple ou bien utiliser une méthode analytique en choisissant un repère formé avec les côtés du parallélogramme.
    Il faut montrer que les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ par exemple sont colinéaires
    En utilisant les vecteurs, on peut exprimer les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$
    Première méthode: méthode vectorielle
    ABCD est un parallélogramme donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$

    $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}$
    $\phantom{\overrightarrow{CE}}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$
    $\phantom{\overrightarrow{CE}}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{AB}$
    $\phantom{\overrightarrow{CE}}=-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AB}$
    $\phantom{\overrightarrow{CE}}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$


    $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}$
    $\phantom{\overrightarrow{CF}}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
    $\phantom{\overrightarrow{CF}}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$


    $-2\overrightarrow{CF}=-2(-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CE}$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{CF}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont colinéaires


    Seconde méthode: méthode analytique
    En utilisant le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$, on a $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(1;1)$ et $D(0;1)$
    $\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}$ donc:
    $\begin{cases} x_E-x_A=\dfrac{1}{3}(x_B-x_A)\\ y_E-y_A=\dfrac{1}{3}(y_B-y_A) \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_E=3\\ y_E=0 \end{cases}$ donc $E(3;0)$

    $\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ donc:
    $\begin{cases} x_F-x_D=\dfrac{1}{2}(x_C-x_B)\\ y_F-y_D=\dfrac{1}{2}(y_C-y_B) \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_F-0=\dfrac{1}{2}\times 0\\ y_F-1=\dfrac{1}{2}\times 1 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} x_F-x_D=\dfrac{1}{2}(x_C-x_B) \\ y_F-y_D=\dfrac{1}{2}(y_C-y_B) \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_F=0 \\ y_F=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
    donc $F(0;\dfrac{3}{2})$


    On peut aussi donner les coordonnées de $E$ directement avec la relation vectorielle:

    $\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AD}$ donc $E(3;0)$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{CE}}=x_E-x_C=3-1=2 \\ y_{\overrightarrow{CE}}=y_E-y_C=0-1=-1 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{CE}(2;-1)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{CF}}=x_F-x_C=0-1=-1 \\ y_{\overrightarrow{CF}}=y_F-y_C=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2} \end{cases}$ donc $\overrightarrow{CF}(-1;\dfrac{1}{2})$

    $x_{\overrightarrow{CE}}y_{\overrightarrow{CF}}- y_{\overrightarrow{CE}}x_{\overrightarrow{CF}}=2\times \dfrac{1}{2}-(-1)\times (-1)=1-1=0$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ sont colinéaires


Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)

Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Vecteurs colinéaires et alignement

- montrer que trois points sont alignés dans un repère
- utiliser le critère de colinéarité


infos: | 10mn |

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.