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On considère les fonction $f$, $g$ correspondant respectivement aux fonctions carré, racine carrée et $h$ la fonction linéaire définie par $h(x)=x$
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- Dans un repère orthonormé, tracer $C_f$, $C_g$ et $C_h$ les représentations graphiques respectivement des fonctions $f$, $g$ et $h$.
On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice pour placer suffisament de points afin d'avoir un tracé précisPour les fonctions $f$ et $g$, on peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice afin d'avoir suffisamment de points pour obtenir un tracé précis.
$h$ est une fonction linéaire donc $C_h$ est une droite passant par l'origine et le point $A(2;h(2))$ par exemple soit $A(2;2)$.
$C_f$ est une parabole de sommet $O(0;0)$.
- Pour tout réel $x>0$, exprimer $f(x)-h(x)$ en fonction de $x$ et étudier le signe de $f(x)-h(x)$.
Contrôler graphiquement.Il faut essayer de factoriser l'expression obtenue pour pouvoir faire un tableau de signes de $f(x)-h(x)$$f(x)-h(x)=x^2-x=x(x-1)$
On a un produit de deux facteurs:
$f(x)-h(x)>0$ pour $x > 1$ donc $f(x) > h(x)$
Graphiquement, on a bien $C_f$ au-dessus de $C_h$ pour $x > 1$.
On a $f(x)-h(x)=x(x-1)$ avec $x >0 $ donc $f(x)-h(x)$ est du même signe de le facteur $x-1$.
On pouvait donc directement écrire le signe de $x-1$ pour obtenir celui de $f(x)-h(x)$ - Pour tout réel $x>0$, exprimer $g(x)-h(x)$ en fonction de $x$.
Montrer que $g(x)-h(x)=\dfrac{x(x-1)}{\sqrt{x}+x}$ et en déduire le signe de $g(x)-h(x)$.
Contrôler graphiquement.Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On peut multiplier par l'expression conjuguée de $\sqrt{x}-x$ soit $\sqrt{x}+x$ pour obtenir le résultat demandé$g(x)-h(x)=\sqrt{x}-x$
$\phantom{g(x)-h(x)}=\dfrac{(\sqrt{x}-x)(\sqrt{x}+x)}{\sqrt{x}+x}$
$\phantom{g(x)-h(x)}=\dfrac{\sqrt{x}^2-x^2}{\sqrt{x}+x}$
$\phantom{g(x)-h(x)}=\dfrac{x-x^2}{\sqrt{x}+x}$
$\phantom{g(x)-h(x)}=\dfrac{x(1-x)}{\sqrt{x}+x}$
On a trois facteurs:
$x > 0$ donc $\sqrt{x}+x >0$ (somme de deux nombres strictement positifs)
$g(x)-h(x)<0$ pour $x > 1$ donc $g(x) < h(x)$
Graphiquement, on a bien $C_g$ en-dessous de $C_h$ pour $x > 1$.
On a $\sqrt{x}+x>0$ et $x > 0$ donc on peut déterminer le signe de $g(x)-h(x)$ avec celui de $1-x$ - Comparer alors $x$, $\sqrt{x}$ et $x^2$ pour tout réel $x > 0$ en fonction de la valeur de $x$.
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