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On considère une sphère et un cylindre de même rayon.

Le cylindre a pour hauteur $h=10$ cm.
  1. Exprimer le volume $V$ de la sphère et le volume $V'$ du cylindre en fonction de $R$.
    Rappel sur les volumes d'une shpère: $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ et d'un cylindre: $V=\text{Aire de la base}\times h$
    On a donc pour la sphère $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ et pour le cylindre $V'=\pi\times R^2\times h=\pi \times R^2 \times 10=10\pi R^2$
  2. Déterminer le rayon de la sphère pour que les deux solides aient le même volume.

    Produit de facteurs nul


    Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
    $a \times b=0 \Longleftrightarrow a=0$ ou $b=0$
    On veut résoudre l'équation $V=V'$
    $\phantom{\Longleftrightarrow} \dfrac{4}{3}\pi R^3 =10\pi R^2$
    $ \Longleftrightarrow \dfrac{4}{3}R^3 =10 R^2$ (on peut diviser les deux membres par $\pi$)
    $ \Longleftrightarrow \dfrac{4}{3}R^3 -10 R^2=0$
    $ \Longleftrightarrow R^2(\dfrac{4}{3}R -10)=0$
    $ \Longleftrightarrow R^2=0$ ou $ \dfrac{4}{3}R -10=0$
    $ \Longleftrightarrow R=0$ ou $ \dfrac{4}{3}R =10$
    $ \Longleftrightarrow R=0$ ou $ R =10\times \dfrac{3}{4}$
    $ \Longleftrightarrow R=0$ ou $ R =\dfrac{30}{4}$
    Si $R=0$, la sphère est réduite à un point donc il faut $R=\dfrac{30}{4}=7,5$

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