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On veut résoudre $S$: $\begin{cases}
x\equiv 1 ~~(11)\\
x\equiv 3~~(4)
\end{cases}$ dans $\mathbb{Z}$.
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- Montrer que résoudre $S$ revient à résoudre $E$: $11u+4v=2$
- Résoudre $E$.
Méthode résolution équation Diophantienne
- Chercher le PGCD$(a,b)=d$ et vérifier que $d$ divise $c$
- diviser tous les coefficients de l'équation par $d$
- On doit alors résoudre $a'x+b'y=c'$ (équation $E'$) avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux
- Déterminer une solution particulière de l'équation $E'$ notée $(x_0;y_0)$
- On a alors:
$a'x+b'y=a'x_0+b'y_0\Longleftrightarrow a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)$
avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux. donc $a'$ divise $y-y_0$ d'après le théorème de Gauss
et donc $y=a'k+y_0$ avec $k\in \mathbb{Z}$
et on remplace $y$ par $a'k+y_0$ dans $E'$Déterminer une solution particulièrePGCD$(11,-4)=1$ et donc PGCD$(11,-4)$ divise $2$
donc d'après le corollaire du th. de Bezout l'équation admet au moins une solution.
$11\times 2-4\times 5=22-20=2$
donc $(2;5)$ est une solution de $E$.
$11u-4v=11\times 2 -4\times 5 \Longleftrightarrow 11u-11\times 2=4v-4\times 5$
$\phantom{11u-4v=11\times 2 -4\times 5} \Longleftrightarrow 11(u-2)=4(v-1)$
donc $4$ divise $11(u-2)$ et $11$ et $4$ premiers entre eux
et d'après le th. de Gauss on a $4$ divise $u-2$
donc il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $u-2=4k$ soit $u=4k+2$
$11(4k+2)-4v=2\Longleftrightarrow 44k+22-4v=2$
$\phantom{11u-4v=2}\Longleftrightarrow -4v=-44k-20$
$\phantom{11u-4v=2}\Longleftrightarrow v=11k+5$
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