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- Déterminer $a$ et $b$ tels que $n^2-3+(an+b)(n-2)=1$
On peut développer le membre de gauche et identifier les coefficients pour que cela soit égal à $1$ quelque soit $n$$n^2-3+(an+b)(n-2)=1\Longleftrightarrow n^2-3+an^2-2an+bn-2b=1$
$\phantom{n^2-3+(an+b)(n-2)=1}\Longleftrightarrow (1+a)n^2+(-2a+b)n-3-2b=1$
En identifiant les coefficients, on a:
$\begin{cases} 1+a=0\\ -2a+b=0\\ -3-2b=1 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ -2a+b=0\\ b=\dfrac{4}{-2}=-2 \end{cases}$
On a bien $-2a+b=-2\times (-1)-2=0$
- En déduire que $\dfrac{n^2-3}{n-2}$ est irréductible.
Théorème de Bezout
Les entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tel que $au+bv=1$$n^2-3+(-n-2)(n-2)=1$
donc en posant $u=1$ et $v=-n-2$ on a $u(n^3-3)+v(n-2)=1$ avec $u$ et $v$ entiers relatifs
donc d'après le th. de Bezout, on a $n^3-3$ et $n-2$ premiers entre eux
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