MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre PGCD -théorème de BEZOUT et GAUSS

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$n$ est un entier naturel non nul.

Montrer que $4n+1$ et $n$ sont premiers entre eux.

Rappel de cours

Nombres premiers entre eux
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs tels que $(a;b)\neq (0;0)$.
$a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si PGCD$(a,b)=1$
Algorithme d'Euclide
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls tels que $a Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes du diviseur par le reste de la division précédente, la première étant la division euclidienne de $a$ par $b$ est le PGCD de $a$ et de $b$.

Aide

On peut diviser $4n+1$ par $n$

Solution

$4n+1=4\times n+1$ donc le quotient de la division euclidienne de $4n+1$ par $n$ est $4$ et le reste $1$
$n=1\times n+0$ donc $q=1$ et $r=0$
donc PGCD$(4n+1,n)=1$
Montrer que $4n+5$ et $n+1$ sont premiers entre eux.

Aide

$4n+5=4(n+1)+1$

Solution

$4n+5=4\times ( n+1)+1$ donc le quotient de la division euclidienne de $4n+5$ par $n+1$ est $4$ et le reste $1$
$n+1=1\times (n+1)+0$ donc $q=1$ et $r=0$
donc PGCD$(4n+5,n+1)=1$
$4n$ et $n+2$ sont-ils premiers entre eux?

Aide

Il suffit de trouver un contre exemple

Solution

Pour $n=2$ on a $4n=8$ et $n+2=4$
or $4$ est un diviseur de $8$
donc PGCD$(4,8)=4\neq 1$

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