$2^0=1$ donc $2^0\equiv 1$ $(5)$
$2^1=2$ donc $2^1\equiv 2$ $(5)$
$2^2=4$ donc $2^2\equiv 4$ $(5)$
$2^3=8$ donc $2^3\equiv 3$ $(5)$ car $8=5\times 1+3$
$2^4=16$ donc $2^4\equiv 1$ $(5)$ car $16=5\times 3+1$
On retrouve le même reste que pour $2^0$ donc on a une période de $4$.
On a les restes $1$, $2$, $4$ et $3$.
On pose $n=4q+r$ avec $q$ et $r$ entiers naturels et $0\leq r < 4$ donc $2^n=2^{4q+r}$
$2^n=2^{4q+r}= (2^4)^q\times 2^r$
$2^4 \equiv 1$ $(5)$ donc $2^{4q}\equiv 1^q$ $(5)$ soit $2^{4q}\equiv 1$ $(5)$
donc $2^n\equiv 1\times 2^r $ $(5)$ soit $2^n\equiv 2^r$ $(5)$

Les restes possibles dans la division de $2^n$ par $5$ sont $1$, $2$, $4$ et $3$.

On a donc $n=35$ et on va donc chercher à quel entier est congru $35$ modulo $4$ pour utiliser le tableau de la question 1
$35=4\times 8+3$ donc $35\equiv 3$ $(4)$
On a donc $n=35$ et $n\equiv 3$ $(4)$
avec le tableau du 1, si $n\equiv 3$ $(4)$ alors on a $2^{35}\equiv 3$ $(5)$
et $-1\equiv -1$ $(5)$
donc $2^{35}-1\equiv 3-1$ $(5)$
soit $2^{35}-1\equiv 2$ $(5)$
donc le rste de la division euclidienne de $2^{35}-1$ par $5$ est $2$