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- Donner la liste des diviseurs de $20$ dans $\mathbb{N}$.
$20=1\times 20$
$20=2\times 10$
$20=4\times 5$
- En déduire les couples $(x;y)$ d'entiers naturels tels que $4x^2-y^2=20$
On a donc $4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y)$$4x^2-y^2=20\Longleftrightarrow (2x-y)(2x+y)=20$
donc $2x-y$ et $2x+y$ sont des diviseurs de $20$
avec $x$ et $y$ entiers naturels donc $2x-y<2x+y$
$\begin{cases}2x-y=1\\2x+y=20\end {cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}4x=21~~~L_1+L_2\\2y=19~~~L_2-L_1\end {cases}$ or $x$ et $y$ entiers naturels donc pas de solution dans $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$
ou bien $\begin{cases}2x-y=2\\2x+y=10\end {cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}4x=12~~~L_1+L_2\\2y=8~~~L_2-L_1\end {cases}$ donc $(x;y)=(3;4)$
ou bien $\begin{cases}2x-y=4 \\2x+y=5\end {cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}4x=9~~~L_1+L_2\\2y=1~~~L_2-L_1\end {cases}$ or $x$ et $y$ entiers naturels donc pas de solution dans $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$
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