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On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}
0&1&-1\\ -3&4&-3\\ -1&1&0
\end{pmatrix}$.
- Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $A^2=aA+bI_3$
Matrices égales
Deux matrice $M$ et $N$ de dimensions $n$ et $p$ sont égales si leurs coefficients sont égaux.Exprimer la matrice $aA+bI_3$ en fonction de $a$ et $b$·fboc$aA+bI_3$
$=a\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -3&4&-3\\ -1&1&0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 0&a&-a\\ -3a&4a&-3a\\ -a&a&0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b&0&0\\ 0&b&0\\ 0&0&b \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} b&a&-a\\ -3a&4a+b&-3a\\ -a&a&b \end{pmatrix}$
$A^2=\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -3&4&-3\\ -1&1&0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -3&4&-3\\ -1&1&0 \end{pmatrix}$
$~~~~=\begin{pmatrix} -2&3&-3\\ -9&10&-9\\ -3&3&-2 \end{pmatrix}$
$A^2=aA+bI_3 \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} -2&3&-3\\ -9&10&-9\\ -3&3&-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b&a&-a\\ -3a&4a+b&-3a\\ -a&a&b \end{pmatrix}$
donc $b=-2$ et $a=3$
On a bien $4a+b=12-2=10$
donc $a=3$ et $b=-2$
- En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
Inverse d'une matrice carrée d'ordre $n$
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$, $A$ est un inversible s'il existe une matrice carrée d'ordre $n$ notée $A^{-1}$ telle que $A\times A^{-1}=I_n$$A^2=3A-2I_3$
$\Longleftrightarrow A^2-3A=-2I_3$
$\Longleftrightarrow A(A-3I_3)=-2I_3$
$\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2}A(A-3I_3)=I_3$
$\Longleftrightarrow A(-\dfrac{1}{2}(A-3I_3))=I_3$
donc $A$ est inversible et $A^{-1}=-\dfrac{1}{2}(A-3I_3)$
$A^{-1}=-\dfrac{1}{2}(A-3I_3)$
$~~~~~=-\dfrac{1}{2}\left(\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -3&4&-3\\ -1&1&0 \end{pmatrix}-3\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\right)$
$~~~~~=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -3&1&-1\\ -3&1&-3\\ -1&1&-3 \end{pmatrix}$
$~~~~~=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2}&\dfrac{-1}{2}&\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{3}{2}&-1& \dfrac{3}{2}\\ \dfrac{1}{2}& \dfrac{-1}{2}&\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}$
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