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On considère les matrices $A=\begin{pmatrix}
4&-6\\
1&-1
\end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix}
3&2\\
1&1
\end{pmatrix}$
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- Montrer que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$.
Déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$
le déterminant de $A$ noté $det(A)$ est le réel $det(A)=ad-bc$}Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ telle que $det(A)\neq 0$.
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$$det(P)=3\times 1-2\times 1=1$
$det(P)\neq 0$ donc $P$ est inversible.
$P^{-1}=\dfrac{1}{det(P)}\begin{pmatrix} 1&-2\\ -1&3 \end{pmatrix}$ et $det(P)=1$
- Montrer que $D=P^{-1}AP$ est une matrice diagonale.
Matrice diagonale
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls sauf la diagonale.
La matrice $\begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&-3&0\\\ 0&0&2 \end{pmatrix} $ est une matrice diagonale d'ordre 3.Produit de deux matrices
Le produit de la matrice $A=(a_{ij})$ de dimensions $n\times p$ par la matrice $B=(b_{ij})$ de dimensions $p\times m$ est la matrice $C=(c_{ij})=A\times B$ de dimensions $n\times m$ telle que $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_k=1^p a_{ik}b_{kj}$}
Schématiquement on a:
$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&-2\\ -1&3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4&-6\\ 1&-1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{pmatrix}$
$~~~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 1&-2\\ -1&3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4\times 3-6\times 1&4\times 2-6\times 1\\ 1\times 3-1\times 1&1\times 2-1\times 1 \end{pmatrix}$
$~~~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 1&-2\\ -1&3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6&2\\ 2&1 \end{pmatrix}$
$~~~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 1\times 6-2\times 2&1\times 2-2\times 1\\ -1\times 6+3\times 2&-1\times 2+3\times 1 \end{pmatrix}$
$~~~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$
- Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $D^n=\begin{pmatrix}
2^n&0\\ 0&1
\end{pmatrix}$
Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
- $P_0$ vraie
- Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
- On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
On peut utiliser une démonstration par récurrenceOn peut utiliser un raisonnement par récurrence pour montrer la propriété $P_n$: $D^n=\begin{pmatrix} 2^n&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$
Initialisation
$\begin{pmatrix} 2^1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}=D$ donc la propriété est vraie au rang 1
Hérédité
On suppose qu'il exisiste un entier $k$ tel que la propriété $P_k$ soit vraie soit $D^k=\begin{pmatrix} 2^k&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$ et on veut montrer que la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$P_{k+1}=P^k\times P$
$~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 2^k&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$
$~~~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 2^k\times 2+0\times 0&2^k\times 0+0\times 1\\ 0\times 2+1\times 0&0\times 0+1\times 1 \end{pmatrix}$
$~~~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 2^{k+1}&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$
donc $P_{k+1}$ est vraie
- Déduire des questions précédentes l'expression de $A^n$ pour tout entier $n>0$
$D^n=D\times D....\times D=P^{-1}AP\times P^{-1}AP.....+P^{-1}AP$$D^n=D\times D....\times D$ et on a $D=P^{-1}AP$
$~~~~~=P^{-1}AP\times P^{-1}AP\times P^{-1}AP.....\times P^{-1}AP$
$~~~~~=P^{-1}A\times A\times A....\times AP$
$~~~~~=P^{-1}A^nP$
On a donc $D^n=P^{-1}A^nP$
$D^n=P^{-1}A^nP \Longleftrightarrow PD^n=PP^{-1}A^nP$
$\phantom{D^n=P^{-1}A^nP} \Longleftrightarrow PD^n=I_2A^nP$
$\phantom{D^n=P^{-1}A^nP} \Longleftrightarrow PD^nP^{-1}=A^nPP^{-1}$
$\phantom{D^n=P^{-1}A^nP} \Longleftrightarrow PD^nP^{-1}=A^nI_2$
$\phantom{D^n=P^{-1}AP} \Longleftrightarrow PD^nP^{-1}=A^n$
On a donc $A^n=PDP^{-1}$
$A^n=\begin{pmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2^n&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1&-2\\ -1&3 \end{pmatrix}$
$~~~~=\begin{pmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2^n\times 1+0\times (-1)&2^n\times (-2)+0\times 3\\ 0\times 1+1\times (-1)&0\times (-2)+1\times 3 \end{pmatrix}$
$~~~~=\begin{pmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2^n&-2^{n+1}\\ -1& 3 \end{pmatrix}$
$~~~~= \begin{pmatrix} 3\times 2^n+2\times (-1)&3\times (-2^{n+1})+2\times 3\\ 1\times 2^n+1\times (-1)&1\times (-2^{n+1})+1\times 3 \end{pmatrix}$
$~~~~= \begin{pmatrix} 3\times 2^n-2&-3\times 2^{n+1}+6\\ 2^n-1&- 2^{n+1}+3 \end{pmatrix}$
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