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On définit la suite de nombres complexes $(z_n)$ par $z_0=1$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $z_{n+1}=\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}i$.
Pour tout $n\in \mathbb{N}$, pose $u_n=z_n-i$.
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Pour tout $n\in \mathbb{N}$, pose $u_n=z_n-i$.
- Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$On veut montrer que $u_{n+1}=qu_n$
u_{n+1}=z_{n+1}-i$...$u_{n}=z_{n}-i$
donc on a $u_{n+1}=z_{n+1}-i$.
$u_{n+1}=z_{n+1}-i$
$~~~~~~=\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}i-i$
$~~~~~~=\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}i-\dfrac{3}{3}i$
$~~~~~~=\dfrac{1}{3}z_n-\dfrac{1}{3}i$
$~~~~~~=\dfrac{1}{3}(z_n-i)$
$~~~~~~=\dfrac{1}{3}u_n$
- En déduire l'expression de $u_n$ puis de $z_n$ en fonction de $n$.
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$On a $z_n=u_n+i$$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $u_0=z_0-i=1-i$
donc $u_n=u_0\times q^n=\dfrac{1}{3^n}(1-i)$
$u_n=z_n-i\Longleftrightarrow z_n=u_n+i$
- On pose $S_n=z_0+z_1+....+z_n$.
Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.Somme des termes d'une suite géométrique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
$S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$On a $S_n=z_0+z_1+...+z_n=u_0+i+u_1+i+...+u_n+i$On a $z_n=u_n+i$.
$S_n=z_0+z_1+...+z_n$
$~~~~=u_0+i+u_1+i+...+u_n+i$
$~~~~=u_0+u_1+...+u_n+i(n+1)$
$~~~~=u_0~+u_1+...+u_n+i(n+1)$
$(u_n)$ est géométrique donc
$u_0~+u_1+...+u_n=u_0\dfrac{1-\dfrac{1}{3^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{3}}$
$\phantom{u_0~+u_1+...+u_n}=(1-i)\dfrac{1-\dfrac{1}{3^{n+1}}}{\dfrac{2}{3}}$
$\phantom{u_0~+u_1+...+u_n}=\dfrac{3}{2}(1-i)\left(1-\dfrac{1}{3^{n+1}}\right)$
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