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On donne le système d'équations à trois inconnues $S: \begin{cases}
-3x+3y-z=0\\
-6x+7y-4z=7\\
-5x-6y-4z=-4
\end{cases}$
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- Donner l'écriture matricielle de ce système d'équations sous la forme $AX=B$.
Système d'équations et matrices
Un système à $n$ équations et à $n$ inconnues de la forme $\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+...+a_{nn}x_n=b_n \end{cases} $ peut sécrire sous la forme $AX=B$ avec
$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}x_3&...&a_{nn} \end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\...\\x_n \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\...\\...\\b_n \end{pmatrix}$
Si $A$ est inversible on a alors $AX=B\Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Longleftrightarrow X=A^{-1}B$La matrice $A$ correspond aux coefficients des équations et $B$ au coefficients du second membre de chaque équation.Avec $\begin{pmatrix} -3&3&-1\\ -6&7&-4\\ -5&-6&-4 \end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0\\ 7\\ -4 \end{pmatrix}$
on a $S \Longleftrightarrow AX=B$ - Déterminer $A^{-1}$ avec la calculatrice.
Avec la calculatrice, saisir les coefficients de la matrice $A$ d'ordre $3$ puis calculer $A^{-1}$ (avec CASIO OPTN puis MAT puis MAT $A$ $^{-1}$)
- En déduire la solution du système $S$.
Calculer $A^{-1}\times B$$AX=B \Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B \Longleftrightarrow X=A^{-1}B$
$X=\begin{pmatrix} \dfrac{-52}{73}&\dfrac{18}{73}&\dfrac{-5}{73}\\ &&\\ \dfrac{-4}{73}&\dfrac{7}{73}&\dfrac{-6}{73}\\ &&\\ \dfrac{71}{73}&\dfrac{-33}{73}&\dfrac{-3}{73} \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ -4 \end{pmatrix}$
$\phantom{X}=\begin{pmatrix} \dfrac{-52}{73}\times 0+\dfrac{18}{73}\times 7+\dfrac{-5}{73}\times (-4)\\ &&\\ \dfrac{-4}{73}\times 0+\dfrac{7}{73}\times 7+\dfrac{-6}{73}\times (-4)\\ &&\\ \dfrac{71}{73}\times 0+\dfrac{-33}{73}\times 7+\dfrac{-3}{73}\times (-4) \end{pmatrix}$
$\phantom{X}=\begin{pmatrix} \dfrac{146}{73}\\ \\ \dfrac{73}{73}\\ \\ \dfrac{-219}{73} \end{pmatrix}$
$\phantom{X}=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -3 \end{pmatrix}$
On peut résoudre ce système avec le MENU EQUA de la calculatrice en saisissant les coefficients de $x$, $y$ et $z$ et de la matrice $B$.
MENU EQUA puis Système (ou simultané) et 3 inconnues.
Contrôler de la solution en remplaçant $x$, $y$ et $z$ par leurs valeurs dans chaque équation:
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