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- On donne la matrice $A=\begin{pmatrix}
2&-3\\
-5&4
\end{pmatrix}$.
Montrer que $A^{-1}$ existe et déterminer $A^{-1}$Déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$
le déterminant de $A$ noté $det(A)$ est le réel $det(A)=ad-bc$}Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ telle que $det(A)\neq 0$.
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$Calculer $det(A)$$det(A)=2\times 4-(-3)\times (-5)=8-15=-7\neq 0$
On a $A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} $
avec $a=2$, $b=-3$, $c=-5$ et $d=4$
et $det(A)=-7$
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}=\dfrac{1}{-7}\begin{pmatrix} 4&3\\5&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{-4}{7}&\dfrac{-3}{7}\\ &\\ \dfrac{-5}{7}&\dfrac{-2}{7} \end{pmatrix}$
Penser à contrôler les calculs avec la calculatrice - On considère le système d'équations $S_1:\begin{cases}
2x-3y=9\\
-5x+4y=-19
\end{cases}$
Ecrire ce système d'équations sous forme matricielle avec $X=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ et le résoudre en utilisant les matrices.Système d'équations et matrices
Un système à $n$ équations et à $n$ inconnues de la forme $\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+...+a_{nn}x_n=b_n \end{cases} $ peut sécrire sous la forme $AX=B$ avec
$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}x_3&...&a_{nn} \end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\...\\x_n \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\...\\...\\b_n \end{pmatrix}$
Si $A$ est inversible on a alors $AX=B\Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Longleftrightarrow X=A^{-1}B$Si on écrit ce sytème sous forme matricielle $AX=B$, $A$ a pour coefficients les coefficients de $x$ et de $y$ du système d'équations.
$B$ a pour coefficients les coefficients du second membre de chaque équation.Avec $A=\begin{pmatrix} 2&-3\\ -5&4 \end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 9\\ -19 \end{pmatrix}$
On a bien $S_1\Longleftrightarrow AX=B$.
$AX=B \Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B \Longleftrightarrow X=A^{-1}B$
$X= \begin{pmatrix} \dfrac{-4}{7}&\dfrac{-3}{7}\\ &\\ \dfrac{-5}{7}&\dfrac{-2}{7} \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 9\\ \\ -19 \end{pmatrix}$
$\phantom{X}=\begin{pmatrix} \dfrac{-4}{7}\times 9+\dfrac{-3}{7}\times (-19)\\ &\\ \dfrac{-5}{7}\times 9+\dfrac{-2}{7}\times (-19) \end{pmatrix}$
$\phantom{X}=\begin{pmatrix} \dfrac{21}{7}\\ &\\ \dfrac{-7}{7} \end{pmatrix}$
$\phantom{X}=\begin{pmatrix} 3\\ &\\ -1 \end{pmatrix}$
On peut résoudre ce système avec le MENU EQUA de la calculatrice en saisissant les coefficients de $x$ et $y$ et de la matrice $B$.
MENU EQUA puis Système (ou simultané) et 2 inconnues.
Contrôle de la solution en remplaçant $x$ et $y$ par leurs valeurs dans chaque équation:
$2\times 3-3\times (-1)=6+3=9$
$-5\times 3+4\times (-1)=-15-4=-19$ - On considère le système d'équations $S_2:\begin{cases}
2x-3y+5=0\\
5x+2=4y
\end{cases}$
Ecrire ce système d'équations sous forme matricielle avec $X=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ et le résoudre en utilisant les matrices.Il faut se ramener à un sytème d'équations de la forme $\begin{cases} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}$$S_2:\begin{cases} 2x-3y+5=0\\ 5x+2=4y \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 2x-3y=-5\\ 5x-4y=-2 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 2x-3y=-5\\ -5x+4y=2 ~~~~\text{{\footnotesize on multiplie les deux membres par }}-1 \end{cases}$
Avec $A=\begin{pmatrix} 2&-3\\ -5&4 \end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix} -5\\ 2 \end{pmatrix}$
On a bien $S_2\Longleftrightarrow AX=C$.
$AX=C \Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}C \Longleftrightarrow X=A^{-1}C$
$X= \begin{pmatrix} \dfrac{-4}{7}&\dfrac{-3}{7}\\ &\\ \dfrac{-5}{7}&\dfrac{-2}{7} \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -5\\ \\ 2 \end{pmatrix}$
$\phantom{X}=\begin{pmatrix} \dfrac{-4}{7}\times (-5)+\dfrac{-3}{7}\times 2\\ &\\ \dfrac{-5}{7}\times (-5)+\dfrac{-2}{7}\times 2 \end{pmatrix}$
$\phantom{X}=\begin{pmatrix} \dfrac{14}{7}\\ &\\ \dfrac{21}{7} \end{pmatrix}$
$\phantom{X}=\begin{pmatrix} 2\\ &\\ 3 \end{pmatrix}$
Contrôle de la solution en remplaçant $x$ et $y$ par leurs valeurs dans chaque équation:
$2\times 2-3\times 3=4-9=-5$
$-5\times 2+4\times 3=-10+12=2$
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