$1\times 3-2\times 1=1\neq 0$
\res {donc $A$ est inversible.

On a $A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} $
avec $a=1$, $b=2$, $c=1$ et $d=3$
et $det(A)=1$
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 3&-2\\-1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&-2\\-1&1 \end{pmatrix}$
$A^{-1}=\begin{pmatrix} 3&-2\\-1&1 \end{pmatrix}$
Remarque
En posant $A^{-1}=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$, on a:
$A\times A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$
$\phantom{A\times A-1}=\begin{pmatrix} a+2c&b+2d\\ a+3c&b+3d \end{pmatrix}$
$A\times A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$
donc on a les deux systèmes d'équations suivants:
$\begin{cases} a+2c=1\\ a+3c=0 \end{cases}$ d'une part et $\begin{cases} b+2d=0\\ b+3d=1 \end{cases}$ d'autre part.
Le coefficient de $a$ est 1 donc on peut résoudre ce système par substitution:
$\begin{cases} a+2c=1\\ a+3c=0 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1-2c\\ 1-2c+3c=0 \end{cases} $
$\phantom{\begin{cases} a+2c=1\\ a+3c=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} a=3\\ c=-1 \end{cases}$
$\begin{cases} b+2d=0\\ b+3d=1 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} b=-2d\\ -2d+3d=1 \end{cases} $
$\phantom{\begin{cases} b+2d=0\\ b+3d=1 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=-2\\ d=1 \end{cases}$
donc $A^{-1}=\begin{pmatrix} 3&-2\\ -1&1 \end{pmatrix}$
Penser à contrôler ce résultat avec la calculatrice