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On donne la matrice $A=\begin{pmatrix}
2&4\\
3&5\\
\end{pmatrix}$
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- $A$ est-elle inversible? ($A^{-1}$ existe-t-elle?)
Déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$
le déterminant de $A$ noté $det(A)$ est le réel $det(A)=ad-bc$}Il faut vérifier que le déterminant est différent de 0$2\times 5-4\times 3=-2\neq 0$
\res {donc $A$ est inversible. - Déterminer $A^{-1}$ par le calcul.
Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ telle que $det(A)\neq 0$.
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$On a $a=2$, $b=4$, $c=3$ et $d=5$
et $det(A)=-2$
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} 5&-4\\-3&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2,5&2\\1,5&-1 \end{pmatrix}$
On peut aussi déterminer l'inverse de $A$ en résolvant deux systèmes d'équations.
En posant $A^{-1}=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$ on a:
$A\times A^{-1}=\begin{pmatrix} 2&4\\ 3&5\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$
$\phantom{A\times A-1}=\begin{pmatrix} 2a+4c&2b+4d\\ 3a+5c&3b+5d \end{pmatrix}$
$A\times A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$ donc on a les deux systèmes d'équations suivants:
$\begin{cases} 2a+4c=1\\ 3a+5c=0 \end{cases}$ d'une part et $\begin{cases} 2b+4d=0\\ 3b+5d=1 \end{cases}$ d'autre part.
On peut résoudre ces systèmes par combinaisons :
$\begin{cases} 2a+4c=1\\ 3a+5c=0 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} -2a=5~~5L_1-4L_2\\ 2c=3~~3L_1-2L_2 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a=\dfrac{-5}{2}\\ c=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
$\begin{cases} 2b+4d=0\\ 3b+5d=1 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} -2b=-4~~5L_1-4L_2\\ 2d=-2~~3L_1-2L_2 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=2\\ c=-1\end{cases}$
- Contrôler ce résultat avec la calculatrice.
Saisir la matrice $A$ puis la matrice $B=A^{-1}$
Calculer $A\times A^{-1}$.
On peut aussi calculer directement $A^{-1}$ et contrôler avec le résultat donné ci-dessus.Avec la calculatrice, on a bien $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2,5&2\\ 1,5&-1 \end{pmatrix}$ et $A\times A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$
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