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- Soit $A$ une matrice.
Quelle doit-être la caractéristique de $A$ pour que l'on puisse calculer $A^2$? - Calculer $A^2$ avec $A=\begin{pmatrix}
2&1\\
4&-1
\end{pmatrix}$
Produit de deux matrices
Le produit de la matrice $A=(a_{ij})$ de dimensions $n\times p$ par la matrice $B=(b_{ij})$ de dimensions $p\times m$ est la matrice $C=(c_{ij})=A\times B$ de dimensions $n\times m$ telle que $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_k=1^p a_{ik}b_{kj}$}
Schématiquement on a:
$A^2=A\times A$$A\times A=\begin{pmatrix} 2\times 2+1\times 4&2\times 1+1\times (-1)\\ 4\times 2+(-1)\times 4&4\times 1+(-1)\times (-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8&1\\ 4&5 \end{pmatrix}$
- Calculer $A^3$.
$A^3=A^2\times A$On a $A^2=\begin{pmatrix} 8&1\\ 4&5 \end{pmatrix}$
$A^3=A^2\times A$
$\phantom{A^2\times A}=\begin{pmatrix} 8&1\\ 4&5 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2&1\\ 4&-1 \end{pmatrix}$
$\phantom{A^2\times A}=\begin{pmatrix} 8\times 2+1\times 4&8\times 1+1\times (-1)\\ 4\times 2+5\times 4&4\times 1+5\times (-1) \end{pmatrix}$
$\phantom{A^2\times A}=\begin{pmatrix} 20&7\\ 28&-1 \end{pmatrix}$
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