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Dans chaque cas, dire si on peut calculer le produit de $A$ par $B$ et si cela est possible calculer alors $A\times B$.
Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice
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Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice
- $A=\begin{pmatrix}
2&1\\
4&-1
\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
2&3&-1\\
3&-2&4
\end{pmatrix}$.
Produit de deux matrices
Le produit de la matrice $A=(a_{ij})$ de dimensions $n\times p$ par la matrice $B=(b_{ij})$ de dimensions $p\times m$ est la matrice $C=(c_{ij})=A\times B$ de dimensions $n\times m$ telle que $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_k=1^p a_{ik}b_{kj}$}
Schématiquement on a:
Il faut que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$.
On multiplie les coefficients de la première ligne de $A$ par les coefficients de la première colonne de $B$, puis par ceux de la deuxième colonne de $B$......Pour pouvoir calculer $A\times B$, il faut que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$. $A$ est une matrice à 2 colonnes et $B$ une matrice à 2 lignes donc on peut calculer le produit de $A$ par $B$.
$A\times B=\begin{pmatrix} 2\times 2+1\times 3&2\times 3+1\times (-2)&2\times (-1)+1\times 4\\ 4\times 2+(-1)\times 3&4\times 3+(-1)\times (-2)&4\times (-1)+(-1)\times 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7&4&2\\ 5&14&-8 \end{pmatrix}$
On obtient une matrice à 2 lignes (nombre de lignes de $A$) et 3 colonnes (nombre de colonnes de $B$). - $A=\begin{pmatrix}
2&-3\\
1&-5
\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
2&-1\\
-2&4
\end{pmatrix}$.
Il faut que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$.
On multiplie les coefficients de la première ligne de $A$ par les coefficients de la première colonne de $B$, puis par ceux de la deuxième colonne de $B$......$A$ est une matrice à 2 colonnes et $B$ une matrice à 2 lignes donc on peut calculer le produit de $A$ par $B$.
$A\times B=\begin{pmatrix} 2\times 2+(-3)\times (-2)&2\times (-1)+(-3)\times 4\\ 1\times 2+(-5)\times (-2)&1\times (-1)+(-5)\times 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10&-14\\ 12&-21 \end{pmatrix}$
- $A=\begin{pmatrix} 2&-3&1\\ 1&-5&8 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 2&-1&2\\ -2&4&9 \end{pmatrix}$.
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