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Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine $O$ et on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=4i$ et $z_B=-2$.
A tout complexe $z\neq -2$, on associe le complexe $z'$ tel que $z'=\dfrac{z-4i}{z+2}$.
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A tout complexe $z\neq -2$, on associe le complexe $z'$ tel que $z'=\dfrac{z-4i}{z+2}$.
- Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $|z'|=1$.
Distances et modules
Soient $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
$AB=|z_B-z_A|$\left\vert \dfrac{z-4i}{z+2}\right\vert=\dfrac{|z-4i|}{|z+2|}$
L'ensemble des points $M$ équidistants de $A$ et $B$ est la médiatrice du segment $[AB]$.$|z'|=1\Longleftrightarrow \left\vert \dfrac{z-4i}{z+2}\right\vert=1$
$\phantom{|z'|=1}\Longleftrightarrow \dfrac{|z-4i|}{|z+2|}=1$
$\phantom{|z'|=1}\Longleftrightarrow |z-4i|=|z+2|$
$|z-4i|=|z-z_A|=AB$ et $|z+2|=|z-z_B|=BM$
donc $AM=BM$
- On pose $z=x+iy$, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $z'$ en fonction de $x$ et $y$.
Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $x+iy+2$ soit $x+2-iy$$z'=\dfrac{z-4i}{z+2}$
$\phantom{z'}=\dfrac{x+iy-4i}{x+iy+2}$
$\phantom{z'}=\dfrac{(x+iy-4i)(x+2-iy)}{(x+2+iy)(x+2-iy)}$
$\phantom{z'}=\dfrac{x^2+2x-ixy+ixy+2iy-i^2y^2-4ix-8i+4i^2y}{(x+2)^2+y^2}$
$\phantom{z'}=\dfrac{x^2+2x+y^2-4y+i(2y-4x-8)}{(x+2)^2+y^2}$
- Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}_1$ des points $M$ tels que $z' \in \mathbb{R}$.
- Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}_2$ des points $M$ tels que $z'$ soit imaginaire pur.
On veut que la partie réelle de $z'$ soit nulle.
Rappel: $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$ est une équation du cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et rayon $r$$z' \in i\mathbb{R}$ si et seulement si $Re(z')=0$.
$Re(z')=\dfrac{x^2+2x+y^2-4y}{(x+2)^2+y^2}=0$
$\Longleftrightarrow x^2+2x+y^2-4y=0$
$\Longleftrightarrow (x+1)^2-1+(y-2)^2-4=0$
$\Longleftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=5$
Le point $B$ d'affixe $z_B=-2=-2+0i$ n'appartient pas à cet ensemble car $(-2+1)^2+(-2-2)^2=17\neq 5$
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