$z^2=\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2$
$\phantom{z^2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}^2+2\times \sqrt{2+\sqrt{2}}\times i\sqrt{2-\sqrt{2}}+i^2\sqrt{2-\sqrt{2}}^2$
$\phantom{z^2}=2+\sqrt{2}+2i\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2-\sqrt{2}}-(2-\sqrt{2})$

$\phantom{z^2}=2+\sqrt{2}+2i\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}-(2-\sqrt{2})$
$\phantom{z^2}=2+\sqrt{2}+2i\sqrt{2^2-\sqrt{2}^2}-2+\sqrt{2}$
$\phantom{z^2}=2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}$
$z^2=2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}$

$|z^2|=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=4$
$z=4\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
Si on note $\theta=arg\left(z^2\right)$ on a alors:
$\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
et donc $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ ($2\pi$).
$z^2=4\left(cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$

$\left\vert z^2\right\vert =4=|z|^2$ donc $|z|=\sqrt{4}=2$.
$arg\left(z^2\right)=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi=2arg(z)$ avec $k\in \mathbb{Z}$
donc $arg(z)=\dfrac{\pi}{8}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
La mesure principale de $arg(z)$ est donc $\dfrac{\pi}{8}$ ou $\dfrac{\pi}{8}-\pi=\dfrac{-7\pi}{8}$. Or $Re(z)=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ donc $Re(z)>0$.
$cos\left(\dfrac{-7\pi}{8}\right)<0$ donc $arg(z)=\dfrac{\pi}{8}$ ($2\pi$)
donc $|z|=2$ et $arg(z)=\dfrac{\pi}{8}$ ($2\pi$) soit $z=2e^{i\frac{\pi}{8}}$

On a $z=2e^{i\frac{\pi}{8}}=2\left( cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{8}\right) \right)$
et $z=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}$
Les parties réelles et imaginaires doivent être égales
donc $2cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ soit $cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
et $2sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ soit $sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
$cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ et $sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
Remarque
Penser à contrôler les calculs avec la calculatrice (réglée en radians...)