$3^3-3\times 3^2+4\times 3-12=9-9+1-12=0$
donc $3$ est une solution de l'équation

$3$ est une racine du polynôme $z^3-3z^2+4z-12$ donc on peut factoriser par $z-3$.
$(z-3)(az^2+bz+c)$.

$=az^3+bz^2+cz-3az^2-3bz-3c$
$=az^3+(b-3a)z^2+(c-3b)z-3c$

et on a $az^3+(b-3a)z^2+(c-3b)z-3c=z^3-3z^2+4z-12$ donc par identification des coefficients:
$\begin{cases} a=1~~\text{identification du coefficient de }z^3\\ b-3a=-3~~\text{identification du coefficient de }z^2\\ c-3b=4~~\text{identification du coefficient de }z\\ -3c=-12~~\text{identification de la constante} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-3+3\\ c=4+3b\\ c=4 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=0\\ c=4\\ c=4 \end{cases}$
donc $z^3-3z^2+4z-12=(z-3)(z^2+4)$

$z^3-3z^2+4z-12=0 \Longleftrightarrow (z-3)(z^2+4)=0 \Longleftrightarrow z=3$ ou $z^2=-4 \Longleftrightarrow z=3$ ou $z=2i$ ou $z=-2i$
$S=\lbrace 3;-2i;2i\rbrace$