$P(2i)=(2i)^3-(1+2i)(2i)^2+(1+2i)2i-2i$
$\phantom{P(2i)}=2^3i^3-(1+2i)(-4)+(1+2i)2i-6i$
$\phantom{P(2i)}=-8i+4+8i+2i+4i^2-2i$
$\phantom{P(2i)}=4-4-8i+8i+2i-2i$
$\phantom{P(2i)}=0$
$p(2i)=0$

$2i$ est une racine du polynôme donc $P(Z)=(z-2i)(az^2+bz+c)$.

$(z-2i)(az^2+bz+c)=az^3+bz^2+cz-2iaz^2-2ibz-2ic=az^3+(b-2ai)z^2+(c-2ib)z-2ic$

et on a $P(z)=z^3-(1+2i)z^2+(1+2i)z-2i$ donc par identification des coefficients:
$\begin{cases} a=1~~\text{identification du coefficient de }z^3\\ b-2ai=-1-2i~~\text{identification du coefficient de }z^2\\ c-2bi=1+2i~~\text{identification du coefficient de }z\\ -2ic=-2i~~\text{identification de la constante} \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b-2i=-1-2i\\ c-2bi=1+2i\\ -2ic=-2i \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-1\\ c+2i=1+2i\\ -2ic=-2i \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-1\\ c=1\\ c=1 \end{cases}$
donc $P(z)=(z-2i)(z^2-z+1)$

$P(z)=0 \Longleftrightarrow (z-2i)(z^2-z+1)=0 \Longleftrightarrow z=2i$ ou $z^2-z+1=0$
Résolution de $z^2-z+1=0$
$\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 1=-3$
$\Delta <0$ donc il y a donc deux solutions complexes:
$z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta}|}{2a}=\dfrac{1 +i\sqrt{3} }{ 2 }$
et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta}|}{2a}=\dfrac{1 -i\sqrt{3} }{ 2 }$
$P(z)=0$ admet donc trois solutions $z_0=2i$, $z_1=\dfrac{1 +i\sqrt{3} }{ 2 }$ et $z_2=\dfrac{1 -i\sqrt{3} }{ 2 }$.