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- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2+2z-3=0$
Équations du second degré à coefficients réels
équation du second degré à coefficients réels
Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
- Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$
$\Delta=2^2-4\times 1\times (-3)=16$
$z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-4}{2}=-3$
$z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+4}{2}=1$
- En déduire les solutions complexes de l'équation $z^4+2z^2-3=0$
On peut poser $Z=z^2$ et utiliser la question 1On pose $Z=z^2$ et on a $Z^2=z^4$
On doit alors résoudre $Z^2+2Z-3=0$.
D'après la question 1 on a donc $Z_1=-3$ et $Z_2=1$.
Il faut donc résoudre $z^2=Z_1=-3 \Longleftrightarrow z=i\sqrt{3}$ ou $z=-i\sqrt{3}$
et $z^2=Z_2=1 \Longleftrightarrow z=1$ ou $z=-1$.
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