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Résoudre les équations ci-dessous dans $\mathbb{C}$.
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- $5z^2-8z+5=0$
Équations du second degré à coefficients réels
équation du second degré à coefficients réels
Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
- Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$
;On calcule $\Delta$ et si $\Delta<0$ il n'y a aucune solution dans $\mathbb{R}$ mais des solutions dans $\mathbb{C}$.$\Delta=(-8)^2-4\times 5\times 5 =64-100=-36=(6i)^2$
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{8-6i}{10}=\dfrac{4-3i}{5}$
$z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{8+6i}{10}=\dfrac{4+3i}{5}$
Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice: MENU EQUA puis POL degré 2.
pour résoudre dans $\mathbb{C}$, il faut vérifier que le mode complexe est activé(avec OPTION MENU (SETUP) pour la calculatrice Casio) - $-2z^2+4z-8=0$
Équations du second degré à coefficients réels
équation du second degré à coefficients réels
Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
- Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$
$\Delta=4^2-4\times (-2)\times (-8) =16-64=-48$
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{-4-i\sqrt{48}}{-4}=\dfrac{-4-i4\sqrt{3}}{-4}=1+i\sqrt{3}$
$z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{-4+i\sqrt{48}}{-4}=\dfrac{-4+i4\sqrt{3}}{-4}=1-i\sqrt{3}$
penser à contrôler avec la calculatrice - $(z+2)^2=-16$
On peut éviter de calculer $\Delta$ en écrivant que $(4i)^2=-16$ et que $(-4i)^2=-16$On a $(4i)^2=-16$ et que $(-4i)^2=-16$ donc
$(z+2)^2=-16\Longleftrightarrow z+2=4i$ ou $z+2=-4i\Longleftrightarrow z=-2+4i$ ou $z=-2-4i$
On peut aussi, même si ce n'est pas indispensable ici, développer et se ramener à un équation semblable aux deux premières; $(z+2)^2=-16 \Longleftrightarrow z^2+4z=-16 \Longleftrightarrow z^2+4z+16=0$
penser à contrôler avec la calculatrice
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