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Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{C}$.
Donner la forme algébrique des solutions obtenues.
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Donner la forme algébrique des solutions obtenues.
- $2z-3+i=0$
- $iz-2+i=3i$
Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$Il faut "isoler" $z$ en utilisant les mêmes règles de calculs que dans $\mathbb{R}$$iz-2+i=3i \Longleftrightarrow iz=2-i+3i$
$\phantom{iz-2+i=3i} \Longleftrightarrow iz=2+2i$
$\phantom{iz-2+i=3i} \Longleftrightarrow z=\dfrac{2+2i}{i}$
$\phantom{iz-2+i=3i} \Longleftrightarrow z=\dfrac{i(2+2i)}{i^2}$
$\phantom{iz-2+i=3i} \Longleftrightarrow z=\dfrac{2i-2}{-1}$
$\phantom{iz-2+i=3i} \Longleftrightarrow z=-2i+2$
- $2z+3=(3-i)z$
Il faut "isoler" $z$ en utilisant les mêmes règles de calculs que dans $\mathbb{R}$ puis "éliminer" les complexes au dénominateur$2z+3=(3-i)z \Longleftrightarrow 2z+3=3z-iz$
$\phantom{2z+3=(3-i)z} \Longleftrightarrow 2z-3z+iz=-3$
$\phantom{2z+3=(3-i)z} \Longleftrightarrow -z+iz=-3$
$\phantom{2z+3=(3-i)z} \Longleftrightarrow z(-1+i)=-3$
$\phantom{2z+3=(3-i)z} \Longleftrightarrow z=\dfrac{-3}{-1+i}$
$\phantom{2z+3=(3-i)z} \Longleftrightarrow z=\dfrac{-3(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}$
$\phantom{2z+3=(3-i)z} \Longleftrightarrow z=\dfrac{3+3i}{1^2+1^2}$
$\phantom{2z+3=(3-i)z} \Longleftrightarrow z=\dfrac{3+3i}{2}$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Équations dans C
- équations du premier degré
- équations avec le conjugué
- équations du second degré
infos: | 15mn |
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