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Calculer et donner la forme algébrique de l'inverse de chaque complexe.
Calculer ensuite $z\times \dfrac{1}{z}$ en utilisant les formes algébriques pour contrôler le résultat.
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Calculer ensuite $z\times \dfrac{1}{z}$ en utilisant les formes algébriques pour contrôler le résultat.
- $z=i$
- $z=1+2i$
Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par $1-2i$$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{1+2i}$
$\phantom{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{1-2i}{(1+2i)(1-2i)}$
$\phantom{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{1-2i}{1+4}$ (rappel $(1+2i)(1-2i)=1^2+2^2$)
$\phantom{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{1-2i}{5}$
$z\times \dfrac{1}{z}=(1+2i)\left(\dfrac{1-2i}{5}\right)$
$\phantom{z\times \dfrac{1}{z}}=\dfrac{(1+2i)(1-2i)}{5}$
$\phantom{z\times \dfrac{1}{z}}=\dfrac{1+4}{5}$
$\phantom{z\times \dfrac{1}{z}}=1$ donc le résultat trouvé pour $\dfrac{1}{z}$ est correct - $z=3i-4$
Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $3i-4=-4+3i$ soit par $-4-3i$Le conjugué de $z=3i-4=-4+3i$ est $\overline{z}=-4-3i$
$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{3i-4}$
$\phantom{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{-4-3i}{(-4+3i)(-4-3i)}$
$\phantom{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{-4-3i}{(-4)^2+3^2}$
$\phantom{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{-4-3i}{25}$
$z\times \dfrac{1}{z}=(3i-4)\left(\dfrac{-4-3i}{25}\right)$
$\phantom{z\times \dfrac{1}{z}}=\dfrac{(-4+3i)(-4-3i)}{25}$
$\phantom{z\times \dfrac{1}{z}}=\dfrac{(-4+3i)(-4-3i)}{25}$
$\phantom{z\times \dfrac{1}{z}}=\dfrac{25}{25}$ $\phantom{z\times \dfrac{1}{z}}=1$
donc le résultat trouvé pour $\dfrac{1}{z}$ est correct
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
forme algébrique d'un quotient
- rappel de $z\overline{z}$
- suppression des complexes au dénominateur
- exemples
infos: | 15mn |
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