$\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
Soit $M(x;y;z)$ un point de $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=2-1=1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=4-(-3)=7\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=1-(-1)=2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ 7\\ 2 \end{pmatrix} $
On a donc $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ avec $t\in \mathbb{R}$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-1\\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-(-3)=y+3\\ z_{\overrightarrow{AM}}=z_M-z_A=z-(-1)=z+1 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-1\\ y+3\\ z+1 \end{pmatrix} $
$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}\Longleftrightarrow \begin{cases} x-1=t\\ y+3=7t\\ z+1=2t \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=1+t\\ y=3+7t\\ z=-1+2t \end{cases}$
Un équation paramétrique de $(AB)$ est $\begin{cases} x=1+t\\ y=3+7t\\ z=-1+2t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$
Remarque
On peut aussi écrire directement le système d'équations:
$\begin{cases} x=x_A+tx_{\overrightarrow{AB}}\\ y=y_A+ty_{\overrightarrow{AB}}\\ z=z_A+tz_{\overrightarrow{AB}} \end{cases}$

Un équation paramétrique de $(AB)$ est $\begin{cases} x=1+t\\ y=3+7t\\ z=-1+2t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$ On a donc $x_C=1+t \Longleftrightarrow 2=1+t \Longleftrightarrow t=1$
Si $t=1$, on a $3+7t=10=y_C$ et $-1+2t=-1+2=1\neq z_C$
donc $C\notin (AB)$

$\begin{cases} x=3-2t\\ y=1-14t\\ z=3-4t \end{cases}$ est une équation paramétrique de $(d)$ donc le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2\\-14\\-4\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
$-2\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2\times 1\\ -2\times 7\\ -2\times 2 \end{pmatrix}$
donc $-2\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{u}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires
donc $(AB)$ et $(d)$ sont parallèles.