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Lors d'un jeu télévisé, un candidat doit prendre une boule dans une urne contenant 2 boules rouges et 18 boules blanches indiscernables au toucher.
Il effectue dix tirages successivement avec remise.
S'il obtient exactement trois boules rouges parmi les dix boules tirées, il gagne le gros lot.
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Il effectue dix tirages successivement avec remise.
S'il obtient exactement trois boules rouges parmi les dix boules tirées, il gagne le gros lot.
- Quelle variable aléatoire peut-on définir pour ce jeu?
- Justifier que la loi de probabilité de la variable aléatoire ainsi définie suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles que l'on notera pour la suite $S$ et $E=\overline{S}$.
La répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes est appelé un schéma de Bernouilli.Loi binomiale
On considère une répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes et on note $p$ la probabilité de succès. l La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de succès obtenus parmi $n$ épreuves de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathbb{B}(n;p)$Déterminer l'épreuve de Bernouilli répétée et les issues possibles ainsi que la probabilité de chacune des issues.
Vérifier l'indépendance de ces épreuves
ConclureOn considère l'épreuve de Bernoulli consistant à prendre au hasard une boule dans l'urne avec les issues possibles $S$: "la boule est rouge" et $\overline{S}$.
Il y a trois boules rouges sur les 20 boules donc on a alors $p(S)=\dfrac{3}{20}=0,15$
On remet la boule tirée dans l'urne donc chaque tirage est indépendant des précédents.
La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de boules rouges obtenues suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,15$ notée $\mathcal{B}(10;0,15)$.
- Calculer la probabilité, arrondie aux centièmes, que le candidat gagne le gros lot.
Probabilités avec la loi binomiale
Si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ est:
$p(X=k)=\begin{pmatrix} n\\ k\\ \end{pmatrix}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$Le candidat gagne le gros lot pour trois boules rouges exactement soit $X=3$
Il faut utiliser les coefficients binomiauxLe candidat gagne le gros lot pour trois boules rouges exactement
donc il faut calculer $p(X=3)$.
$\begin{pmatrix} 10\\ 3 \end{pmatrix}=\dfrac{10!}{3!(10-3)!}=\dfrac{10!}{3!7!}=120$
$p(X=3)=\begin{pmatrix} 10\\ 3 \end{pmatrix}\times 0,15^3\times (1-0,15)^7=120\times 0,15^3\times 0,85^7\approx 0,13$
- Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat.
Espérance de la loi binomiale
On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes répétées) et $p$ (probabilité de l'événement $S$), on a alors: $E(X)=np$$X$ suit la loi $\mathcal{B}(10;0,15)$
donc $E(X)=np=10\times 0,15=1,5$
Cela signifie que pour un grand nombre de candidats, chaque candidat peut espérer obtenir 1,5 boules rouges.
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