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- Dans une classe de 24 élèves, un groupe de 3 élèves de doit aller chercher des livres au CDI.
De combien de manières peut-on former ce groupe ?Produit factorielle
Soit $n$ un entier naturel non nul,
$n!=n(n-1)(n-2)....\times 3\times 2\times 1$
Par exemple $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$Combinaisons
$E$ est un ensemble de $n$ éléments et $0\leq p \leq n$.
Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est un sous ensemble (ou partie) de $p$ éléments de $E$.
Pour une combinaison, on ne tient pas compte de l'ordre des éléments de la $p$-liste et il n'y a pas de répétitions d'éléments identiques.
Le nombre de combinaisons de $p$ ($p\leq n$) éléments de $E$ est l'entier naturel noté $\begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}=n\times(n-1) \times \cdots \times(n-p+1) = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$On cherche le nombre combinaisons de 3 élèves parmi 24On cherche donc le nombre combinaisons de 3 élèves parmi 24
soit $\begin{pmatrix} 24\\3 \end{pmatrix}=\dfrac{24!}{3!(24-3)!}=\dfrac{24!}{21!3!}=\dfrac{24\times 23\times 22}{3\times 2\times 1}=2024$
- Dans un tournoi avec 10 équipes engagées, chaque équipe doit rencontrer toutes les autres une seule fois.
Combien doit-on organiser de matchs ? - Au loto, il y a 49 nombres dans un grille de jeu et on doit cocher 6 nombres sur cette grille.
On cherche le nombre combinaisons de 6 nombres parmi 49On cherche donc le nombre combinaisons de 6 nombres parmi 49
soit $\begin{pmatrix} 49\\6 \end{pmatrix}=\dfrac{49!}{6!(49-6)!}=\dfrac{49!}{43!6!}=\dfrac{49\times 48\times 47 \times 46\times 45\times 44}{ 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=303996$
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