On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $H(x)=u(x)v(x)-x$.
$u$ et $v$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $H$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
$u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$.
$H'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)-1$
$\phantom{H'(x)}=1ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1$
$\phantom{H'(x)}=ln(x)+1-1$
$\phantom{H'(x)}=ln(x)$
On a $H'(x)=ln(x)$

$f$ est continue(somme de fonctions continues) sur $]0;+\infty[$ donc admet des primitives sur $]0;:+\infty[$.
$f(x)=H'(x)+x^2+1$ donc $F(x)=H(x)+\dfrac{x^3}{3}+x=xln(x)-x+\dfrac{x^3}{3}+x=xln(x)+\dfrac{x^3}{3}$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
En effet $F'(x)=ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{3x^2}{3}=ln(x)+x^2+1=f(x)$
$F(x)=xln(x)+\dfrac{x^3}{3}$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.

$f$ est continue sur $]0;+\infty[$ donc sur $[1;e]$.
$ln(x)\geq 0$ pour tout réel $x\geq 1$ et $x^2+1>0$ pour tout réel $x$
donc $f(x)>0$ sur $[1;e]$.
On a donc $f$ continue et $f(x)>0$ sur $[1;e]$ donc l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aires, du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$ est $\int_1^e f(t)dt$.
$F(1)=1ln(1)+\dfrac{1^3}{3}=\dfrac{1}{3}$
$F(e)=eln(e)+\dfrac{e^3}{3}=e+\dfrac{e^3}{3}$
$\mathcal{A}=\int_1^e f(t)dt$
$\phantom{\mathcal{A}}=[F(t)]_1^e$
$\phantom{\mathcal{A}}=F(e)-F(1)$
$\phantom{\mathcal{A}}=e+\dfrac{e^3}{3}-\dfrac{1}{3}$
$\phantom{\mathcal{A}}\approx 9,1$
$\mathcal{A}=e+\dfrac{e^3}{3}-\dfrac{1}{3}\approx 9,1$
Remarque
Penser à contrôler le calcul de l'intégrale avec la calculatrice: OPTION puis CALC puis $\int (ln(x)+x^2+1$,1,e) (voir fiche méthode calculer une intégrale avec la calculatrice)