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Calculer les intégrales suivantes:
penser à contrôler le résultat avec la calculatrice(voir fiche méthode chapitre 6 calculer une intégrale avec la calculatrice)
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penser à contrôler le résultat avec la calculatrice(voir fiche méthode chapitre 6 calculer une intégrale avec la calculatrice)
- $\int_1^{e} \dfrac{3}{x} dx$
Intégrale
La fonction $f$ est continue sur $[ab]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$
$\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$Primitives des fonctions usuelles
Il faut chercher une primitive de $3\times \dfrac{1}{x}$$f$ est continue sur $[1;e]$ donc admet des primitives.
$F(x)=3ln(x)$ est une primitive de $f$ sur $[1;e]$
En effet $F'(x)=3\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{x}=f(x)$
$F(1)=3ln(1)=0$ (rappel $ln(1)=0$)
$F(e)=3ln(e)=3$ (rappel $ln(e)=1$)
$\int_1^{e} \dfrac{3}{x} dx=F(e)-F(1)=3-0=3$ - $\int_0^2 \dfrac{2}{x+1} dx$
Dérivée de ln(u)
$u$ est définie et dérivable sur $I$ avec $u(x) > 0$
$ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $(ln(u))'=(lnou)'=\dfrac{u'}{u}$Si on pose $u(x)=x+1$ on a alors $f(x)=2\times \dfrac{u'(x)}{u(x)}$Si on pose $u(x)=x+1$ on a alors $f(x)=2\times \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ et $u(x)>0$ sur $[0;2]$
et on a $f$ continue sur $[0;2]$ donc $f$ admet des primitives sur $[0;2]$.
$F(x)=2ln(x+1)$ est une primitive de $f$ sur $[0;2]$.
En effet $F'(x)=2\times \dfrac{(x+1)'}{x+1}=\dfrac{2}{x+1}=f(x)$
$F(0)=2ln(0+1)=0$ (rappel $ln(1)=0$)
et $F(2)=2ln(2+1)=2ln(3)$
$\int_0^2 f(x)dx=[F(x)]_0^2=F(2)-F(0)=2ln(3)-0=2ln(3)$
penser à contrôler avec la calculatrice(voir question 1 ou fiche méthode chapitre 6: calculer une intégrale avec la calculatrice)
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