La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables).
$g'(x)=\dfrac{1}{x}+1$
On a $x >0$ donc $\dfrac{1}{x}> 0$ et on a alors $g'(x)>0$
donc $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$

$g(0,27)=ln(0,27)+0,27+1\approx -0,04$ et $g(0,28)=ln(0,28)+0,28+1\approx 0,007$
$g$ est continue sur $]0;+\infty[$ (somme de fonctions continues) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$
et 0 est compris entre $g(0,27)$ et $g(0,28)$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires $g(x)$ prend au moins une fois la valeur $0$
De plus $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$
l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0,27;0,28[$.

$g$ est continue et strictement croissante avec $g(\alpha)=0$
donc $g(x)<0$ sur $]0;\alpha[$ et $g(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty [$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}xln(x)=0$ (limite du cours)
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}x+1=1$
donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=0$
Pour tout réel $x >0$ on a:
$f(x)=\dfrac{xln(x)}{x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{ln(x)}{1+\dfrac{1}{x}}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1+\dfrac{1}{x}=1$
donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

On pose $u(x)=xln(x)$ et $v(x)=x+1$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
et on a $u$ et $v$ dérivables sur $]0;+\infty[$ donc le quotient $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
$u'(x)=(x')ln(x)+x(ln(x))'=1ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}=ln(x)+1$ $u$ est le produit de deux fonctions
et $v'(x)=1$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{(ln(x)+1)\times (x+1)-xln(x)\times 1}{(x+1)^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{xln(x)+x+ln(x)+1-xln(x)}{(x+1)^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{x+ln(x)+1}{(x+1)^2}$

$\phantom{f'(x)}=\dfrac{g(x)}{(x+1)^2}$
$f'(x)=\dfrac{g(x)}({x+1)^2}$
$(x+1)^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$.

On a $0,27 < \alpha < 0,28$ donc $\alpha\approx 0,3$ en arrondissant $\alpha$ aux dixièmes.
avec $f(\alpha)=\dfrac{\alpha ln(\alpha)}{\alpha+1}\approx f(0,3) \approx -0,3$

On a $g(\alpha)=0$ donc $ln(\alpha)+\alpha+1=0$ soit $ln(\alpha)=-\alpha-1$
$f(\alpha)=\dfrac{\alpha ln(\alpha)}{\alpha+1}$
$\phantom{f(\alpha)}=\dfrac{\alpha\times (-\alpha-1)}{\alpha+1}$
$\phantom{f(\alpha)}=\dfrac{-\alpha (\alpha+1)}{\alpha+1}$
$\phantom{f(\alpha)}=-\alpha$
On a donc $f(\alpha)=\alpha$

$f(x)=0 \Longleftrightarrow xln(x)=0$
Or $x >0$ donc $f(x)=0 \Longleftrightarrow ln(x)=0 \Longleftrightarrow x=1$.
$f(x)=0$ pour $x=1$