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Résoudre les équations suivantes:
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- $ln(x)+ln(2)=3$
Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$Equations et inéquations avec ln
La fonction $ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs on a:
$ln(a)=ln(b)\Longleftrightarrow a =b$
$ln(a) < ln(b) \Longleftrightarrow a < b$La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$
On résout donc cette équation sur $]0;+\infty[$
$ln(x)+ln(2)=3 \Longleftrightarrow ln(2x)=ln(e^3)$ (on a $ln(e^3)=3$)
$\phantom{ln(x)+ln(2)=3} \Longleftrightarrow 2x=e^3$
$\phantom{ln(x)+ln(2)=3} \Longleftrightarrow x=\dfrac{e^3}{2}$
On a bien $\dfrac{e^3}{2} \in ]0;+\infty[$
- $ln(x-3)=2$
Equations et inéquations avec ln
La fonction $ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs on a:
$ln(a)=ln(b)\Longleftrightarrow a =b$
$ln(a) < ln(b) \Longleftrightarrow a < b$chercher d'abord l'ensemble de définition
Il faut se ramener à une égalité du type $ln(a)=ln(b)$ en écrivant $ln(e^2)=2$La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$
Il faut donc $x-3>0$ soit $x > 3$
On résout donc cette équation sur $]3;+\infty[$
$ln(x-3)=2 \Longleftrightarrow ln(x-3)=ln(e^2)$ (on a $ln(e^2)=2$)
$\phantom{ln(x-3)=2} \Longleftrightarrow x-3=e^2$
$\phantom{ln(x-3)=2} \Longleftrightarrow x=e^2+3$
On a bien $e^2+3 \in ]3;+\infty[$
- $ln(x-2)+ln(3-x)=0$
Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$$ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $x-2 > 0$ et $3-x >0$
Il faut se ramener à une équation de la forme $ln(a)=ln(b)$ et on a $ln(1)=0$La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $x-2 > 0$ et $3-x >0$.
$\begin{cases} x-2 >0 \\ 3-x >0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x >2 \\ 3 > x \end{cases}$
On résout donc cette équation sur $]2;3[$
$ln(x-2)+ln(3-x)=0 \Longleftrightarrow ln((x-2)(3-x))=ln(1)$
$\phantom{ln(x-2)+ln(3-x)=0} \Longleftrightarrow ln(-x^2+5x-6)=ln(1)$
$\phantom{ln(x-2)+ln(3-x)=0} \Longleftrightarrow -x^2+5x-6=1$
$\phantom{ln(x-2)+ln(3-x)=0} \Longleftrightarrow -x^2+5x-7=0$
Recherche des racines de $-x^2+5x-7$
$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times (-1)\times (-7)=25-28=-3$
$\Delta<0$ donc il n'y a aucune racine
- $2ln(x-1)+ln(3)=0$
$ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $x-1 > 0$
Il faut se ramener à une égalité de la forme $ln(a)=ln(b)$La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $x-1 > 0$.
$x-1 >0 \Longleftrightarrow x >1$
On résout donc cette équation sur $]1;+\infty[$
$2ln(x-1)+ln(3)=0 \Longleftrightarrow ln\left((x-1)^2\right)+ln(3)=0$
$\phantom{2ln(x-1)+ln(3)=0} \Longleftrightarrow ln\left(3(x-1)^2\right)=ln(1)$
$\phantom{2ln(x-1)+ln(3)=0} \Longleftrightarrow 3x^2-6x+3=1$
$\phantom{2ln(x-1)+ln(3)=0} \Longleftrightarrow 3x^2-6x+2=0$
Recherche des racines de $3x^2-6x+2$
$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times 3\times 2=36-24=12$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6 + \sqrt{12} }{6}=\dfrac{6+2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{2(3+\sqrt{3})}{2\times 3}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}\approx 1,6$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6 - \sqrt{12} }{6}=\dfrac{6-2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}\approx 0,4$
$x_1\in ]1;+\infty[$ et $x_2\notin ]1;+\infty[$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Calculs de dérivées
- dérivée de ln et utlisation de la dérivée d'un produit ou quotient
- dérivée de la composée avec ln
infos: | 20mn |
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