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On donne la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2+4x-1$
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- Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$
Dérivées usuelles
$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$
$f'(x)=3x^2-6x+4$
$f''(x)=(f'(x))'=6x-6$
- En déduire la convexité de $f$ en précisant, s'il y en a, les coordonnées des points d'inflexion.
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concaveOn peut dresser le tableau de signe de $f"$ puis en déduire les variations de $f'$
attention On dit que la fonction $f$ est convexe ou concave mais c'est la courbe représentative de $f$ qui admet éventuellement un ou plusieurs points d'inflexion.$f''(x)=6x-6$
$6x-6>0 \Longleftrightarrow 6x>6 \Longleftrightarrow x>1$
donc sur $]1;+\infty[$, $f''(x)>0$ et donc $f'$ est croissante.
avec $f'(1)=3\times 1^2-6\times 1+4=-1$
La dérivée seconde s'annule et change de signe en $x=1$
donc la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion au point de coordonnées $(1;f(1))$ avec $f(1)=1^3-3\times 1^2+4\times 1-1=1$
Courbe donnée à titre indicatif avec le point A, point d'inflexion et la tangente en A tracée en vert:
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